テイラー展開について r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y)

テイラー展開について
r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y))まわりでテイラー展開すると どうなるかわかりません
写真のようになりますか？ x,y,z成分が全て独立変数なら 何となくわかるのですが……

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/08 13:03

> 何となくわかる

とかカンでもの言ってないで、丁寧に計算すればいいだけですよ。
　　r = (r₁(x,y,z), r₂(x,y,z), r₃(x,y,z))
だとして、
　　F₁(x,y) = r₁(x,y,f(x,y))
（F₂, F₃ も同様）の(x₀,y₀)でのテイラー展開は、形式的には
　　F₁(x₀+x,y₀+y) = Σ[n=0〜∞] ((x(∂/∂x) + y(∂/∂y))^n) F₁(x₀,y₀) / n!
と書けるけれども、「F₁(x₀,y₀)は定数じゃん」とか言い出したりする曖昧さを避けるためには
　　F₁(x₀+x,y₀+y) = Σ[n=0～∞] (1/ n!) Σ[k=0～n] (nCk (x^k)(y^(n-k))) ((∂^n)F₁/((∂x^k)(∂y^(n-k)))(x₀,y₀)
と書くのが間違いがない。
　で、一般に
　　H(u) = g(x(u),y(u),z(u))
のuによる導関数は、連鎖則で
　　(dH/du) = (∂g/∂x)(∂x/∂u) + (∂g/∂y)(∂y/∂u) + (∂g/∂z)(∂z/∂u)
ですね。そこでたとえば
　　g= r₁, x(u) = u, y(u) = y, z(u) = f(u,y)
の場合だと(dH/du)とは(∂F₁/∂x)のことに他ならず、
　　(∂x/∂u) = 1
　　(∂y/∂u) = 0
　　(∂z/∂u) = (∂f/∂x)
なので、
　　(∂F₁/∂x) = (∂r₁/∂x) + (∂r₁/∂z)(∂f/∂x)
となる。以下同様で、たとえばg(x(u),y(u),z(u))に(∂F₁/∂r₁)(x(u),y(u),z(u))を代入すれば (∂²F₁/(∂x∂u))がどうなるかもわかるわけです。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/08 13:20

x,y が x座標,y座標 であることを一旦忘れて、

r がともかくふたつの媒介変数 x,y で表されている
と考えてみたら考え易いのでは？

r(,,) の変数を区別する名前があると式が書き易いので、
r = r(u,v,w), p = (u,v,w) = (x,y,f(x,y) と置いてみます。

２変数で普通にテイラー展開して
r(p+dp) = r + (∂r/∂x)dx + (∂r/∂y)dy + (∂²r/∂x²)dx² + (∂²r/∂x∂y)dxdy + (∂²r/∂y²)dy² + …
となりますが、
その各係数は、合成関数の微分法則いわゆるチェインルールによって、
u,v,w での偏微分を経由して、
∂r/∂x = (∂r/∂u)(∂u/∂x) + (∂r/∂v)(∂v/∂x) + (∂r/∂w)(∂w/∂x)
　　　　= (∂r/∂u)1 + (∂r/∂v)0 + (∂r/∂w)(∂f(x,y)/∂x)
　　　　= (∂r/∂u) + (∂r/∂w)(∂f/∂x).
以下も同様に、
∂r/∂y = (∂r/∂u)(∂u/∂y) + (∂r/∂v)(∂v/∂y) + (∂r/∂w)(∂w/∂y)
　　　　= (∂r/∂u)0 + (∂r/∂v)1 + (∂r/∂w)(∂f(x,y)/∂y)
　　　　= (∂r/∂v) + (∂r/∂w)(∂f/∂y),
∂²r/∂x² = (∂/∂x)(∂r/∂x)
　　　　　= (∂/∂x){ (∂r/∂u) + (∂r/∂w)(∂f/∂x) }
　　　　　= (∂/∂x)(∂r/∂u) + { (∂/∂x)(∂r/∂w) }(∂f/∂x) + (∂r/∂w){ (∂/∂x)(∂f/∂x) }
　　　　　= (∂²r/∂u²)(∂u/∂x) + (∂²r/∂u∂v)(∂v/∂x) + (∂²r/∂u∂w)(∂w/∂x)
　　　　　　+ { (∂²r/∂w∂u)(∂u/∂x) + (∂²r/∂w∂v)(∂v/∂x) + (∂²r/∂w²)(∂w/∂x) }(∂f/∂x)
　　　　　　+ (∂r/∂w)(∂²f/∂x²)
　　　　　= (∂²r/∂u²)1 + (∂²r/∂u∂v)0 + (∂²r/∂u∂w)(∂f(x,y)/∂x)
　　　　　　+ { (∂²r/∂w∂u)1 + (∂²r/∂w∂v)0 + (∂²r/∂w²)(∂f(x,y)/∂x) }(∂f/∂x)
　　　　　　+ (∂r/∂w)(∂²f/∂x²)
　　　　　= (∂²r/∂u²) + (∂²r/∂u∂w)(∂f/∂x)
　　　　　　+ (∂²r/∂w∂u)(∂f/∂x) + (∂²r/∂w²)(∂f/∂x)²
　　　　　　+ (∂r/∂w)(∂²f/∂x²),
∂²r/∂x∂y = …
まあ、計算はたいへんですが。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/08 02:14

分かりにくいので

　r(x,y,z)
についての
　r(x+h,y+k,f(x+h,y+k))=r'(x+h,y+k)
のテーラー展開とします。

　r'(x+h,y+k)=Σ(1/k!)(h∂/∂x+k∂/∂y)^k r'(x,y)
このとき
　∂r'/∂x=∂r/∂x+∂f/∂x ∂r/∂z
　∂r'/∂y=∂r/∂y+∂f/∂y ∂r/∂z
だから
　r'(x+h,y+k)
　　=Σ(1/k!){h∂/∂x+k∂/∂y+(h∂f/∂x+k∂f/∂y)∂/∂z}^k r(x,y,f(x,y))

h,kが微分なら
　dr=dx(∂r/∂x+∂f/∂x∂r/∂z)+dy(∂r/∂y+∂f/∂y∂r/∂z) (z=f(x,y))

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/03/08 01:16

よく見えません。