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∫(1/x)e^(2x) dx などが出てきて、始め解けないかと思ったが、以前の回答が参考になった。
積分領域は x=1~2、y=1/x~y=2に囲まれた領域。
I=∫[x=1→2]dx∫[y=1/x→2] ye^(xy)dy=∫[x=1→2] I₁(x)dx・・・・①
I₁(x)=∫[y=1/x→2] ye^(xy)dy ・・・・部分積分して
=[(y/x)e^(xy)][y=2,1/x] - ∫[y=1/x→2] (1/x)e^(xy)dy
=(2/x)e^(2x) - e/x² - (1/x)[(1/x)e^(xy)] [y=2,1/x]
=(2/x)e^(2x) - e/x² - {(1/x²)(e^(2x) - e} =(2/x)e^(2x) - (1/x²)e^(2x)
①に戻して
I=∫[x=1→2] {(2/x)e^(2x) - (1/x²)e^(2x)}dx =2∫[x=1→2] (1/x)e^(2x) dx - I₂
・・・・・②
I₂=∫[x=1→2] (1/x²)e^(2x) dx・・・・部分積分して
=[e^(2x)(-1/x)][x=2,1] - ∫[x=1→2] 2e^(2x)(-1/x) dx
=-e⁴/2+e² + 2∫[x=1→2] e^(2x)(1/x) dx
➁に入れると、積分の項は0となり
I=e⁴/2-e²
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