No.5ベストアンサー
- 回答日時:
多項式の積分法は数学2の範囲なので,数学2の範囲でお答えします。
(部分積分法による方法は,他の方にお任せします。)この手の積分計算では,被積分関数は展開しないのがふつうです。数学2の微積分は(数学Aの)「多項式」の応用という側面があることに注意です。効率的に計算するというより,習ったことを使いこなすという方が,表現としては適切でしょうか。
α,β,γは書きにくいので,a,b,cにさせて下さい。
(1) ∫[a→b] (x-a)(x-b)dx
=∫[a→b] (x-a)(x-a+a-b)dx
=∫[a→b] {(x-a)^2+(a-b)(x-a)}dx
= (1/3)*(b-a)^3+{(a-b)/2}*(b-a)^2
= (1/3-1/2)*(b-a)^3
= -(1/6)*(b-a)^3
(2) ∫[a→c] (x-a)(x-b)(x-c)dx
=∫[a→c] (x-a)(x-a+a-b)(x-a+a-c)dx
=∫[a→c] {(x-a)^3+(2a-b-c)*(x-a)^2+(a-b)(a-c)*(x-a)}dx
= (1/4)*(c-a)^4+{(2a-b-c)/3}*(c-a)^3
+{(a-b)(a-c)/2}*(c-a)^2
= (1/12)*(c-a)^3*{3(c-a)+4(2a-b-c)-6(a-b)}
= (1/12)*(2b-a-c)*(c-a)^3
(3) ∫[a→b] (x-a)(x-b)^2 dx
=∫[a→b] (x-b+b-a)(x-b)^2 dx
=∫[a→b] {(x-b)^3+(b-a)*(x-b)^2}dx
= -(1/4)(a-b)^4 -{(b-a)/3}*(a-b)^3
= (1/12)*(-3+4)*(b-a)^4
= (1/12)*(b-a)^4
No.3
- 回答日時:
∫α-β(x-α)(x-β)dx とはどういう意味でしょうか?
∫(α-β・(x-α)・(x-β))・dxの不定積分なのか?
∫(α<x<β)・(x-α)・(x-β)・dxの定積分なのか?
No.2
- 回答日時:
(1)
∫(α<x<β)・(x-α)・[(x-β)^2/2]'・dx
を部分積分で一気に
=(α-β)^3/6
(3)
∫(α<x<β)・(x-α)・[(x-β)^3/3]'・dx
を部分積分で一気に
=(α-β)^4/12
(2)
∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)・(x-γ+(γ-β)))・dx
=∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)^2・dx
+(γ-β)・∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)・dx
=(α-γ)^4/12+(γ-β)・(α-γ)^3/6
=(α-γ)^3・((α-γ)+2・(γ-β))/12
=(α-γ)^3・(α+γ-2β)/12
No.1
- 回答日時:
部分積分でいかが?
α = a,β = b,γ = cとおきます。(αとか入力しにくくて・・・)
○∫a - b(x - a)(x - b)dx
=ax - b{(x - a)^2(x - b)/2 - ∫ (x - a)^2/2 dx}
=ax - b{(x - a)^2(x - b)/2 - (x - a)^3/6} +C
○∫a - c(x - a)(x - b)(x - c)dx
=ax - c{(x - a)^2 (x - b)(x - c)/2 - ∫(x - a)^2(2x-b-c)/2 dx}
・∫(x - a)^2(2x-b-c)/2 dx = (x - a)^3(2x-b-c)/6 - ∫(x - a)^3/3 dx
= (x - a)^3(2x-b-c)/6 - (x - a)^4/12
∴∫a - c(x - a)(x - b)(x - c)dx
= ax - c{(x - a)^2 (x - b)(x - c)/2 - (x - a)^3(2x-b-c)/6 - (x - a)^4/12} + C
○∫a - b(x - a)(x - b)^2dx
= ax - b{(x - b)^3(x - a)/3 - ∫(x - b)^3/3 dx}
= ax - b{(x - b)^3(x - a)/3 - (x - b)^4/12 } + C
Cはすべて定数
まとめてないけど。計算間違いしている可能性ありますので。
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