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ある演習問題で
∫1/√(x^2+A)
という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

高校範囲だと、#1の方のように、


t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、#2の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。
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x = (√A)sinh t として置換積分.

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√(x^2+A)=t-xとおけば


A=t^2-2tx
x=(t^2-A)/2t
dx={(t^2+A)/2t^2}dt
よって、
∫dx/√(x^2+A)
=∫dx/(t-x)
=∫{(t^2+A)/2t^2}dt/{t-(t^2-A)/2t}
=∫{(t^2+A)/2t^2}dt/{(t^2+A)/2t}
=∫dt/t
から、log|x+√(x^2+A)|です。
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