ある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

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質問者：nabewari
質問日時：2008/06/12 00:24
回答数：3件

ある演習問題で
∫1/√(x^2+A)
という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか？

よろしくお願いします。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： rabbit_cat
回答日時：2008/06/13 00:41

高校範囲だと、＃１の方のように、

t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、＃２の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。

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No.2

回答者： Tacosan
回答日時：2008/06/12 03:23

x = (√A)sinh t として置換積分.

- 7
- 件

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No.1

回答者： debut
回答日時：2008/06/12 01:10

√(x^2+A)＝ｔ－ｘとおけば

A=t^2-2tx
x=(t^2-A)/2t
dx={(t^2+A)/2t^2}dt
よって、
∫dx/√(x^2+A)
=∫dx/(t-x)
=∫{(t^2+A)/2t^2}dt/{t-(t^2-A)/2t}
=∫{(t^2+A)/2t^2}dt/{(t^2+A)/2t}
=∫dt/t
から、log|x+√(x^2+A)|です。

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Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

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1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

　　　　　｜ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）｜
　Ｌｏｇ　――――――――――――
　　　　　｜ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜［ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　｜［ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜

　　　　　｜［ｘ－（１－√（ｘ＾２＋１））］［ｘ＋（１ー√（ｘ＾２＋１））］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜（ｘ＋１）＾２－（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜ｘ＾２－（１－√（ｘ＾２＋１））＾２｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　｜ｘ＾２－１＋２√（ｘ＾２＋１）－ｘ＾２－１｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　－１＋２√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ―――――――――
　　　　　　　　｜ｘ｜

　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜

　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜

　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

　　　１　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
　――― ・Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

　　　１　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝――― ・Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］

　　　１　　　　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝――― ・Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］^２

　　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
-----------------------------------------------------------

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次のように変形されてはどうですか。

t = x+√(x^2 +1)より
t - x =√(x^2 +1)
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両辺をtで割って t -2x -1/t =0
すなわち
t -1/t = 2x
両辺を2で割って
(1/2)(t -1/t) = x 式(1)

また、
(1/2)(t+ 1/t)
= t - (1/2)(t -1/t)
= (x+√(x^2 +1)) -x
= √(x^2 +1) 式(2)

式(1),(2)より
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部分積分では計算できないのでしょうか？

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

＃２です．

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx＝f(x)g(x)－∫f'(x)g(x)dx が，実は，
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また，部分積分の式は，

∫f(x)g(x)dx＝f(x)∫g(x)dx－∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります．ですから，私は，∫f(x)g(x)dx　を得たい時，
まず，∫(f'(x)∫g(x)dx)dx　が積分できるかどうかを調べます．

一般に，積分や微分方程式を解く場合に，ある決まった統一的な，
方法というものがありません．個々の場合について，想像力や創造力を
働かして，個別に，新しく考えねばなりません．そこが，また，魅力とも言えるでしょう．

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＞＞「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる！」

のではないか，と思い込んだ，その着想が大事なのです．
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき，などがなければ，物事の進歩・発展はないのです．

そう言う，あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので，
また，この様な，つたない回答（投稿）となりました．

●（注）些細な事かも知れませんが，f(x)の微分は，
　　f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います．
　　手書きで書く時も，カッコの後にプライム（ダッシュ）をつける
　　 f(x)' ではなく，f　にプライムを付けて，f'(x) と書いています．
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(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

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（１）
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（４）
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＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

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Q1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

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dx=[1+x^2]dT

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=∫dTcosT
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∫[0→π/2]√（cos^2θ） cos θ dθ
＝　∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos（θ/2）＝±√｛（1 + cosθ）/2｝

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭こんがらがりますが

cos（θ）＝±√｛（1 + cos 2θ）/2｝

cos^2 θ ＝（1 + cos 2θ）/2

で２乗を外せて、積分しやすい形に...続きを読む