組み合わせ

①不等式X＋Y＋Z≦5を満たすX,Y,Zの組
(X,Y,Z)は全部でいくつあるか。

②方程式X＋Y＋4Z＝10を満たすX,Y,Zの0以上の
整数解の組の総数は何組あるか。

上記２つの数学の問題を詳しく解答頂ける方、
宜しくお願い致します！！

質問者からの補足コメント

• 申し訳ありません！
  X,Y,Zは負でない整数とする、と言う条件が
  あります！宜しくお願い致します。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/06 11:10

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/06 12:03

（１）●はあめ玉　｜は仕切りを意味する

●●||●●● 　
これは　仕切りの左端がｘのカゴ、仕切りの真ん中がyのカゴ、仕切りの右端がzのカゴで
配分されたあめ玉の個数は　それぞれ　xが２こ　ｙは０こ　ｚは3個　ということを表しています
この飴玉の個数を整数値だとみれば　(x,y,z)=(2,0,3)を表すことにもなります
この要領で
●|●|●●● なら　(x,y,z)=(1,1,3)です
このように　２つの仕切りと　5つの●の順列（配置の仕方で）で,
x+y+z=5を満たす(x,y,z)のすべてを表すことができるのです
では仕切り２こと●5個の配置の仕方はいくつあるか調べてみると
全７か所の中から　●を配置する場所５か所を決めればよいので　その方法は7C5通りあるということになります
配置の仕方の数だけx+y+z=5を満たす(x,y,z)の組があるのですから　
x+y+z=5 となる(x,y,z)も7C5通りあるとわかります

x+y+z=4なら　あめ玉の個数を４にしてやれば良いので　同じように考えて　6C4です
x+y+z=3なら　5C3
x+y+z=2なら　4C2
x+y+z=1なら　3C1
x+y+z=0なら　2C0=1
ｘ、ｙ、ｚは負数ではないので、x+y+zが負になることはありませんから　この他のケースは存在しません！

ゆえに求める組数は　7C5+6C4+5C3+4C2+3C1+2C0で計算できます
（正面から1つ１つ数えていては日が暮れます）

（２）　も１と同じ考え方です
z=0なら　x+y+4・0=10⇔ｘ＋ｙ＝１０
仕切りを1つ用意してｘのカゴとｙのカゴに配るあめ玉の個数を１０とすれば
配分のしかた＝x,yの組＝11C10です
この11C10通りの中には　例えば(x,y)=(5,5)などが含まれていますが　z=0で固定なので
ｚまで含めると　(x,y,z)=(5,5,0)を１とおりとして数えたことになります
また　(x,y)=(6,4)も11C10の中に含まれていますが　これは(x,y,z)=(6,4,0)という意味で
結局　(x,y,z)=(△、□、０）となる組の個数は、今求めた
配分のしかた＝x,yの組＝11C10　に等しいということになります

同様にして
z=1なら　x+y=6
z=2なら　x+y=2
それぞれを満たすケースの計算ができますから　ご自分で試してみてください

この回答へのお礼

凄く丁寧に教えて頂き助かりました。
とてもわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2020/07/06 12:26

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/06 11:07

1は、x,y,zは０以上の整数ですか？　そうでないと答えは無数にありとなり　問題として成立していません

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/06 11:07

② の問題には「0以上の整数解の組」と云う条件がありますが、

① には、X,Y,Z の条件がありませんから、答えられません。

② X+Y+4Z=10 。
㋑ Z＝0 のとき X+Y=10 ですから、
　(x, y, z)=(0, 10, 0);(1, 9, 0);((2, 8, 0) ・・・と
　一つづつ数えていけばよいです。
　Z=1 のとき X+Y=6 ですから 同じ様に 一つづつ数えます。
　Z=2 のとき X+Y=2 ですから 同じ様に 一つづつ数えます。
　Z=3 はあり得ませんから、上記を合計すれば 答えになります。

① も 同じような条件があるのなら、同じように考えれば 答えになります。
やってみて 分からない部分があったら、その部分を 補足で再質問して下さい。