√a+√b＝√a+bが成り立たない理由は何ですか？

大体の公式は√を2乗した時に同じ答えになれば成り立つ、という証明の仕方が多く

(√a+√b)^2=a+b+2√ab
(√a+b)^2=a+b

のように証明されていました

(√a+√b)^2があのような式になるのは分かります。
しかし、同じ数の√が2乗されて外れたときに同じ数かどうかで証明するべきであり、
そうなると(√a)^2+(√b)^2と計算すべきに感じました

文字を2乗するのではなく、式全体を2乗する理由は何故ですか？

質問者からの補足コメント

• 皆さんありがとうございます
  
  この公式の証明はこの√が外れた時に同じ数をそれぞれ示していれば成り立つ、という事かと思っています。
  ですので、それを(√a+√b)^2を(a+b)^2=a^2+2ab+b^2という公式で展開する前に√aと√bをそれぞれ2乗した数に直す必要があるのではと考え、
  (√a+√b)→先に{(√a^2)(√b^2)}と計算すべきではという結論に至りました

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/26 07:31

• すみません
  最後の1文に「先に」は誤字です

    補足日時：2021/05/26 07:34

• 丁寧にありがとうございます
  
  >√a+√b = √(a+b) が成り立つかどうかを検討するのに
  (√a+√b)^2 = （√(a+b))^2 が成り立つかどうかで考えるのは、正解です。
  両辺とも正であることが、あらかじめ判ってますからね。
  
  私の中でのここの認識が、
  式全体の2乗ではなくそれぞれの√を2乗し直して計算した時に解が同一であれば2つの式の＝が成り立つ
  という様な感じです
  
  なので式を2乗して＝かを確認する下の式の様な考えではなく
  (√a+√b)^2 = （√(a+b))^2
  この様な考え方に至りました
  (√a)^2+(√b)^2=(√a+b)^2

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/26 17:38

• 式全体を2乗して考えた時に＝で結ばれないと「成り立たない」、＝で結ばれると「成り立つ」となるのに対して
  √をそれぞれの√を2乗し直して考えた時に＝で結ばれなくても結ばれても「成り立つ」「成り立たない」という様に考える事ができないのは何故ですか？

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/26 20:25

• ありがとうございます
  > (a+b)^n=a^n+b^n
  
  となるかどうかを考えれば明らかだと思います。
  
  というのは、具体的にどういう事でしょうか？

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/26 20:26

• ありがとうございます
  
  √a=a^(1/2)
  の式の意味は理解でき、
  (a+b)^n=a^n+b^n
  は＝で表せないという事は分かりましたが、それが今まで分からなかったものとどの様な関係があるのかが分かりません

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/26 20:57

No.12 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/27 05:52

(左辺)=(右辺) が成り立つとき、(左辺)²=(右辺)² が成り立ちます。

この問題では、(左辺)²=(√a+√b)² です。
ですから、式全体を2乗します。

因みに、√a×√b＝√(a×b) は成り立ちます。
(左辺)²=(√a×√b)²=(√a)²×(√b)²=a×b
この場合も、式全体を2乗しています。

この回答へのお礼

本当に丁寧にありがとうございます
助かりました！

お礼日時：2021/05/27 19:49

No.13 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/27 07:23

そもそもの話ですが

{√(a+b)}^2

(√a)^2+(√b)^2

と言う2つの式は意味が違います。意味が違うなら等号で結ばれないのは当然です。難しく考えなければならない理由は何もありません。

この回答へのお礼

本当に丁寧にありがとうございます
助かりました！

お礼日時：2021/05/27 19:50

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/26 23:28

←No.7 補足

これは、露骨な質問の引き伸ばしかな？
そうではなくて、もし真面目に考えているのだとしたら、
思弁的になりすぎだと思います。
計算ですぐに明らかなことを、形而上学的に悩むのは、
哲学者の悪癖にすぎない。あまり真似しないほうがいいです。

数学では、成り立たない例がある命題を否定するのに
観念的な説明は要りません、ただ反例を挙げれば済むことです。
今回のあなたの考えについて、No.7 で既に反例を挙げました。
＞ 3^2 + 4^2 = 5^2 が成り立ちますが、
＞ 3 + 4 = 5 ではありません。
だから、項ごとに2乗して考えても、もとの式の成立は示せない
んですよ。

この回答へのお礼

不快な思いをさせてしまったのであればすみません
本当に丁寧にありがとうございます

お礼日時：2021/05/27 19:48

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 21:52

(a+b)^n≠a^n+b^n

と言うのが分かったようですね。と言う事は

√(a+b)≠√a+√b

と言う事も納得されたはずです。前者の式のn=1/2の場合が後者の式なので。

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 20:38

「具体的にどうか」と言うのは先に書いた式のa、b、nに具体的な数値を入れて考えればいいだけです。

今はn=1/2の場合が問題になっていますが、理屈は同じなのでn=2の場合で考えれば分かりやすいと思います。

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 20:09

真正面から回答すると、指数表記で考えれば分かりやすいと思います。

√a=a^(1/2)

となりますが

(a+b)^n=a^n+b^n

となるかどうかを考えれば明らかだと思います。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/26 17:54

＞ 私の中でのここの認識が、

＞ 式全体の2乗ではなくそれぞれの√を2乗し直して計算した時に
＞ 解が同一であれば2つの式の＝が成り立つ
＞ という様な感じです

そりゃ、単なる勘違いですね。
3^2 + 4^2 = 5^2 が成り立ちますが、
3 + 4 = 5 ではありません。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/26 15:35

←No.3 補足

ああ、そっちの話ですか。
√a+√b = √(a+b) が成り立つかどうかを検討するのに
(√a+√b)^2 = （√(a+b))^2 が成り立つかどうかで考えるのは、正解です。
両辺とも正であることが、あらかじめ判ってますからね。
すると、あなたの混乱は、単純な計算ミス...No.5 の言うとおり
なのではないでしょうか。 いまいち状況が解らない部分もあるけども。

ひょっとしてですが、(√a+√b)^2 = （√(a+b))^2 を整理するときに
(a+b)^2 を持ち出して、同じ文字 a,b を使ってしまったことが
混乱のもとであるような気もします。
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ではなく
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ではなくを
(√a+√b)^2 = （√(a+b))^2 と比較したら、話がスッキリしませんか？

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 09:19

{√a+√b}^2はちゃんと計算すると

(√a)^2+2√a√b+(√b)^2

=a+b+2√a√b

となります。つまり(√a)^2と(√b)^2をちゃんと計算しているわけですから、質問者様が疑問に感じるような事は起きていないはずだと思います。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 09:02

ウェブ上での式の書き方が間違っています。

質問文のような

(√a+b)^2

と言う書き方だと「√aにbを加えたものを二乗する」と言う意味になってしまいます。「a+b全体にルートを被せたものを二乗」と言う意味なら、ウェブ上では

{√(a+b)}^2

と言う具合に「どこまでルートが被るのか」「どこまでを二乗するのか」が分かるように適当に括弧を使うべきです。