【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

卒業研究で計測した分布をべき乗則

y = ax^k

に類似させるべく最小二乗法を計算しようと思ってるのですが
自力で計算した結果

k = {loga×Σ(logy) - Σ(logy × logx)} / Σ(logx)^2
a = Σ(yx^k)/Σ{x^(2k)}

で行き詰まって係数の計算までに至りません
最小二乗法で調べてみても簡単な一次式の例しか出ず参考になりません

どなたか適切な計算方法について説明お願いします

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A 回答 (3件)

y = ax^kの両辺の対数をとって、lny=lna+klnx。


Y=lny,A=lna,X=lnxと置くとY=A+kXとなって、一次式の形になります。
各データから、Y(i)=lny(i),X(i)=lnx(i)を使って求めれば普通の最小二乗法でできます。
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この回答へのお礼

なるほど、そう考えると単純ですね

私は対数は取ったのですが
S = Σ(logy-loga-klogx)^2
のように変換せずそのまま最小二乗法をやってましたorz

参考にします、ありがとうございます。

お礼日時:2009/01/26 10:34

No.2 と比べれば判るように、貴方の式は、



k = { (log a)×Σ(log y) - Σ(log y × log x) } / Σ(log x)^2 が、
(∂/∂k) Σ{ (log y) - log(a x^k) }^2 = 0 を変形したもので、
log y の二乗誤差を最小にする a, k を求める式の一部、

a = Σ(y x^k) / Σ{ x^(2k) } が、
(∂/∂a) Σ( y - a x^k )^2 = 0 を変形したもので、
y の二乗誤差を最小にする a, k を求める式の一部、

になっています。どちらか一方に統一すれば、それなりの解が得られます。
どちらに統一すべきかは、応用上の都合で決まるので、
数学というより、その卒業研究の内容に従って考えるべきでしょう。

y の二乗誤差のほうを最小化することに決めた場合、
a, k の連立方程式は、非線形方程式になりますから、
反復法などを使って、近似解を求めるしかありません。

そちらが希望なら、ニュートン法などについて調べてみるとよいでしょう。
参考: http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2007/5E_com …
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こんばんは。



No.1様のご回答のように、
y = ax^k
から
lny = klnx + lna  (自然対数)
あるいは、
logy = klogx + loga  (常用対数)
としてから、
logy と logx との関係を最小二乗法として考える方法が一つ。

この方法は、両対数グラフを作ったときの、直線と各点とを近づけたい場合に用います。



もう一つは、対数目盛りでないグラフ(曲線になります)において、
各点と曲線とを近づけるという目的で行う方法です。
誤差をεと置けば、
y + ε = ax^k
ε = ax^k - y
ε^2 = (ax^k - y)^2
 = a^2・x^2k - 2ayx^k + y^2

データに番号をつければ、
εn^2 = a^2・xn^2k - 2aynxn^k + yn^2

よって、2乗誤差の合計Sは、
S = Σεn^2
 = Σa^2・xn^(2k) - 2Σaynxn^k + Σyn^2
 = a^2・Σxn^(2k) - 2a・Σynxn^k + Σyn^2

ここで、
xn、yn はデータなので、既知の定数です。
逆に、aとkは不明ですから、変数として考えることができます。

Sを最小にするには、Sがaやkに関して極値を取るようにすればよいのですから、
それは、Sをaやkで偏微分したときにゼロになるようにすればよいということです。

S = a^2・Σxn^(2k) - 2a・Σ(yn・xn^k) + Σyn^2
でしたから、

∂S/∂a = 2a・Σxn^(2k) - 2・Σ(yn・xn^k)
 = 2(a・Σxn^(2k) - Σyn・xn^k)

∂S/∂k = a^2・Σ(2lnxn・xn^(2k)) - 2a・Σ(yn・lnxn・xn^k)
 = 2a(a・Σ(lnxn・xn^(2k)) - Σ(yn・lnxn・xn^k))

これらがゼロになればよいので、
a・Σxn^(2k) - Σ(yn・xn^k) = 0
a・Σ(lnxn・xn^(2k)) - Σ(yn・lnxn・xn^k) = 0

という連立方程式で、aとkが決まります。

この先は、計算していません。



以上、ご参考になりましたら幸いです。
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Q最小二乗法での指数関数の計算

最小二乗法での指数関数の計算
最小二乗法での指数関数の計算方法が良く分からないのですが公式などありますか?
y=ae^bxでしたらやり方があるのですがy=ae^bx+cの方法がわかりません・・・・・・

Aベストアンサー

No1の方が書いておられるように、これは厳密には非線形の最小二乗法になります。
ただし、単にそう書いても、質問者の方にはわからないと思いますので、具体的かつ実用的なやり方を書きましょう。
と言っても、簡単です。
まず、cとして、適当な値c1を仮定します。
すると、
y-c1=a1e^b1x
の最小二乗法に帰着され、a1,b1が求まります。
この時の残差を、z1とします。
z1=Σ(yi-c1-a1e^b1xi)^2

次に、cの増分値をΔcとして、
c2←c1+Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z2を求めます。
z2=Σ(yi-c2-a2e^b2xi)^2

さらに、
c3←c1+2Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z3を求めます。

この段階で、cに対して残差zをプロットし、2次関数近似してみましょう。
うまくいけば、極小値がこの範囲内にみつかります。
この2次関数から直接、または、初期値c1と増分値Δcをもっと適切な値となるように設定するなりして極小値の存在範囲を狭めてから2次関数近似して、この極小値cを求めましょう。
最後にもういちど、cに対する最小二乗法を適用して、係数a,bを求めれば、それが答です。

もし、cに対するzが、単調増加、あるいは単調減少になってしまったら?
この場合、Δcが大きすぎると、極小値が範囲内にあるにも関わらず、単調増加あるいは単調減少になってしまっている可能性も高いので、c1,c2,c3は変えず、Δcを1/2にして、c1とc2、c2とc3の間の値を求め、全5点をプロットしてみます。
本質的に単調増加あるいは単調減少なら、傾向に変化はないはずです。この場合には、zが小さくなる方向にcの初期値と増分値Δcを選びなおして、再計算してみましょう。
区間内に極小値がある場合には、傾向が”それらしく"変化しますから、増分値をもっと細かくして、極小値を押さえれば良いのです。

慣れてくれば、2次関数近似といわず、最初から絨毯爆撃的にcを規則的に変化させながらzの動きを把握していくなどの小ざかしい方法を覚えるようになりますが、最後は極小値の存在する区間の3個の値から2次関数近似することには変わりがありません。(2次関数近似は扱いが簡単で便利ですから。)

No1の方が書いておられるように、これは厳密には非線形の最小二乗法になります。
ただし、単にそう書いても、質問者の方にはわからないと思いますので、具体的かつ実用的なやり方を書きましょう。
と言っても、簡単です。
まず、cとして、適当な値c1を仮定します。
すると、
y-c1=a1e^b1x
の最小二乗法に帰着され、a1,b1が求まります。
この時の残差を、z1とします。
z1=Σ(yi-c1-a1e^b1xi)^2

次に、cの増分値をΔcとして、
c2←c1+Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z2を求めます。
z2=Σ(yi-c2-a2e^b2xi)...続きを読む

Q対数変換する意味?

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

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Q指数近似曲線の計算方法について

x:10,20,30,40,50,60
y:10,30,70,170,490,1700
のように変化する場合、y=200のときのxの値が求めたいのですが、うまく求めることができません。

Excelでの解法もあるかと思うのですが、手計算での方法が知りたいです。

わかる方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

手計算はちょっときついですが、xに対してyが指数的に増えるという
関係が認められるときは、前の方のように、xとlogyが直線的な関係
にあるとみて、まず通常の最小二乗法により、logy=ax+bという直線
の式を求めて、これを逆に指数で戻してやって、y=e^(ax+b)とするのが
良いと思います。実務でもたまにやります。

Q減少率の出し方

数学(算数)の問題なんですが、減少率の出し方がわかりません。

346000→330000の減少率が約4.3パーセントになるわけを教えてください

Aベストアンサー

増加率や減少率は、増加したり減少したりする前の量を基準(分母)にするのが、世の中での決まりごとです。
分子(主役)は増加した量や減少した量です。

割合は、(主役)÷(基準、全体など) です。

分子は16000
分母は346000
ですから、
16000÷346000 = 0.0462
100をかけて、4.6%です。

あれ? 合いませんね。
ですけど、考え方は上記のとおりです。

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
LCRの配分を工夫すると誤差やバラツキを少なく出来ます。
 

Qホール効果

物性の授業に関連した実験中に
ホール電圧を測定しました。
ローレンツ力に関連があること、磁場に関係があること、
半導体のキャリア濃度と電荷量によって決まる定数と
流した電流、かけた磁場の積がホール電圧になることまで
わかりました。

ですがホール効果の測定がいったい何を意味するのかわかりません。
現実において、このホール効果はどのような事に利用されているのでしょうか?

実験レポとは関係なく僕の興味なので
どのようなことでもかまいません。
何かわかりやすい事例などありましたら教えてください

Aベストアンサー

siegmund です.
kexe さん,Legendre 多項式の質問覚えていますよ.

ホール効果測定でわかることの最も重要で実用的なことは,
キャリアが正孔か電子かということです.
実験をやられたのでしたら,多分実験指導書に,
(1)   R_H = E_H /JH
でホール係数 R_H が定義され(J は電流密度,H は磁場,E_H はホール電場)
簡単なモデル計算では
(2)   R_H = 1/Nq
となることが書いてあるでしょう.
単位系の取り方によっては 1/Nqc になっているかも知れません.
N はキャリアの密度,q はキャリア1個の電荷,c は光速.
R_H の符号から q の正負,すなわちキャリアが正孔か電子かが判定できます.
また,q の絶対値は電荷素量 e ですから,N すなわちキャリア密度がわかります.
半導体では(2)に1程度の数係数がつきますので,
N の正確な見積もりは R_H からだけではなかなか難しいところがあります.

ホール効果を用いて,磁場を測定する装置があります.
ガリウムヒ素エピタキシャルホール素子がよく使われているようです.

なお,MOS(metal-oxiside semidonductor)の反転層などの2次元電子系では
ホール伝導度 σ_H = J/E_H が e^2/h (h はプランク定数)の整数倍に
量子化されるという現象(量子ホール)効果が知られています.
e^2/h は自然定数だけで書けていて,物質固有の量を含まないのが大事なところです.
量子ホール効果は 1980 年にクリツィングによって発見され,
彼は 1985 年のノーベル賞を受賞しました.
分数量子ホール効果というのもあります.

ホール効果の名前は,この現象の発見者の物理学者の名前
Edwin Herbert Hall(1855‐1938) から来ています.
今,気がついたんですが,E. H.Hall ねぇ~.
E は電場,H は磁場だから,発見者にまさにふさわしいイニシャルですね.

正孔は hole ですが,カタカナで書くとこれもホールになっちゃいます.
ときどき Hall と hole を混同する方がいるようです.

siegmund です.
kexe さん,Legendre 多項式の質問覚えていますよ.

ホール効果測定でわかることの最も重要で実用的なことは,
キャリアが正孔か電子かということです.
実験をやられたのでしたら,多分実験指導書に,
(1)   R_H = E_H /JH
でホール係数 R_H が定義され(J は電流密度,H は磁場,E_H はホール電場)
簡単なモデル計算では
(2)   R_H = 1/Nq
となることが書いてあるでしょう.
単位系の取り方によっては 1/Nqc になっているかも知れません.
N はキャリアの密度,q はキャリア...続きを読む

Q最小二乗法について・・・

最小二乗法について全く分かりません。どういう時に使うのか?どうやって使うのか?どういう式があるのかを教えて下さい。できれば例を使っておねがいします。皆さんにお手数掛けますがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

siegmund です.

簡単に言えば,最小二乗法は誤差のあるデータの解析や整理に使われる方法です.

たとえば,電池と抵抗の単純な回路で,電流 I と抵抗の両端の電位差 V を
測定したとします.
適当な方法で(可変抵抗を使うなど) I を 1 mA おきに 0 mA から 100 mA まで変える,など.
オームの法則で I と V は比例するはずですから,I と V をグラフに描けば
理想的には測定点は直線上に並ぶはずです.
ところが,測定には誤差がつきものですから,測定点は完全に直線上には並ばず,
多少分散することになります.
で,どうやって直線を引きます?
直線の両側に同じように測定点がばらつくするように引きますよね.
でも,こうやると目分量に頼ることになりますから,
直線の傾き(つまり, I と V の間の比例係数,すなわち抵抗値)は,
誰が直線を引くかで多少違ってきてしまいます.
ここらへんの手続きを数学的に厳密にし,
人によるあいまいさが入らないようにしたのが最小二乗法です.

最小二乗法を全部解説すると長くなりすぎます.
以前の質問を拝見すると,yuni- さんは原子核の本やスピン,パリティなどが出てくる
本を読まれているようですから,適当な本を参照されるようにおすすめします.
理工学系の大学初年級対象の物理実験の本を探してみてください.
測定値処理の方法としてたいてい最小二乗法の記述があります.

siegmund です.

簡単に言えば,最小二乗法は誤差のあるデータの解析や整理に使われる方法です.

たとえば,電池と抵抗の単純な回路で,電流 I と抵抗の両端の電位差 V を
測定したとします.
適当な方法で(可変抵抗を使うなど) I を 1 mA おきに 0 mA から 100 mA まで変える,など.
オームの法則で I と V は比例するはずですから,I と V をグラフに描けば
理想的には測定点は直線上に並ぶはずです.
ところが,測定には誤差がつきものですから,測定点は完全に直線上には並ばず,
多少分散するこ...続きを読む

Qホール効果測定について

現在、私は化合物薄膜のホール効果測定を行っているのですが、どうしてもうまく
測定できません。薄膜試料でホール効果測定を行う際(室温で)、注意すべき点等が
ございましたら、ご教授ください。

P.S.
私が行っている方法は一辺が1cm×1cmの正方形試料(膜厚が数百nm)の各頂点に
4つの端子を接触させ、磁場を試料の面直方向に印加した状態で、片方の対角線端子
間に一定電流を、他方の対角線端子間で電圧を測定するという方法です。

Aベストアンサー

昔々,ヘリウム温度で金属薄膜のホール効果の測定をしたことがあります.
中心になっていたのは私の後輩だったし,
こういう話からは長いこと離れてしまったので,そのつもりでご覧下さい.

> 磁場を印加する前後で電圧にほとんど差が生じない

がちょっと気になります.
磁場がゼロでも,ホール端子で測定される電圧はゼロにならない
ということですか.
もし,そうなら電流方向の電圧がホール端子の電圧に混在してしまって
いるのでなないですか.
よく,棒状資料の図でホール効果の説明がありますが,
ホール端子の位置が電流と正確に直角方向になっていなければ,
見かけのホール電圧は,真のホール電圧と抵抗の電圧降下の分との
和になりますね.
もともとホール電圧は小さいですから,紛れ込んだ抵抗電圧の分が大きいと
マスクされてしまってうまく観測できないことがあります.
電流の方向を反転してみると,チェックになります.

熱起電力(ゼーベック効果)や熱磁気効果(ネルンスト効果)が
じゃますることもあります.

それから,資料の形は正方形がいいんでしたっけ?
電流端子と電圧端子を交換して測定して,
何かじゃまな効果をうち消せるメリットがあったような気がしますが,
デメリットもあったような記憶があります.
(なんせ,昔のことなので(^^;)).
他に,長細い形にして,櫛の歯のように左右にホール電圧端子を
突き出させるタイプもありますね.
私が使ったのはこのタイプでした.

あとは,直流法か交流法か,もありますね.
電流,磁場の交直で4通りありますね.
私が使ったのは両方交流で
(もちろん両者は周波数を違え,単純比にならないようにする),
ホール電圧の周波数成分(三角関数の積→和)をロックインアンプで
検出する方法を使いました.

丸善の実験物理学講座あたりに何かヒントがないでしょうか?
(今手元にないので無責任ですが).
他にもどこか実験物理学講座の類を出していたような気がします.
あるいは,電気測定技術の専門書とか.

この種の測定は,それなりの腕を持った人たちがかなり苦労して
いろいろな方式の得失などの知識を積み重ねてきています.
ですから,専門の技術書を参照してから自分のシステムに応用して
みるより仕方がないと思います.
既にエキスパートの域に達した人も
最初のうちはそういう参照をしながら腕をあげたのでしょうね.

昔々,ヘリウム温度で金属薄膜のホール効果の測定をしたことがあります.
中心になっていたのは私の後輩だったし,
こういう話からは長いこと離れてしまったので,そのつもりでご覧下さい.

> 磁場を印加する前後で電圧にほとんど差が生じない

がちょっと気になります.
磁場がゼロでも,ホール端子で測定される電圧はゼロにならない
ということですか.
もし,そうなら電流方向の電圧がホール端子の電圧に混在してしまって
いるのでなないですか.
よく,棒状資料の図でホール効果の説明があります...続きを読む

Q銅損試験と鉄損試験

変圧器で、無負荷試験を銅損試験、短絡試験を鉄損試験とも言うのは何故なんでしょうか?いくら調べてもわかりません。もしよろしければ教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

まず、質問内容が間違ってますよ。

<無負荷試験>
2次側を解放(無負荷)なら、理論上は1次側の消費電力もゼロです。しかし、鉄心に電流が流れて(渦電流という)電力を消費します。無負荷でも鉄心で損失する。→無負荷=鉄損

<短絡(全負荷)試験>
2次側を短絡すると理論上1次側も短絡状態になるはずです。しかし、銅線には抵抗分があり短絡にならず、これによって損失が発生します。短絡なら変圧器では損失=熱が発生しません。短絡しても銅線で損失する。→短絡=銅損

こんなもんでわかってもらえたでしょうか?

QEXCELの近似曲線の対数近似の式

EXCELのグラフを作る機能で対数近似を選択して引くことが出来る近似曲線の式
について教えてほしいのです。

対数近似の式y=aln(x)+bの係数aとbを算出して、曲線と実際のデータとの
乖離している差をエクセルの関数を使って算出したいのです。


おかしな条件かもしれませんが、yの値は(-)負の値もとりますし、バラバラ
です。
なんとなく、わかる範囲で計算したのですが、yが負の値だとエラーがでて
計算してくれなくて・・EXCELのグラフの機能であれば、問題なくグラフ化される
ので、私の計算式が間違っているはずです。

例えば以下の数値だとy = -0.81387583Ln(x) + 1.05061096 です。
*小数点以下2桁以下は四捨五入になっていますので細かくはあわないかも
しれませんが・・・。


X={1,2,3,・・・・10}
y={1.21,2.07,-1.10,-1.55,-0.58,-0.01,-0.73,-0.67,-0.30,-0.12}

yが毎回変わるため、グラフからカット&ペーストするのは手間がかかります
のでしたくありません。m(__)m

算数も数学も良くわからないものですが、どなたかご教授いただければ幸いです。

EXCELのグラフを作る機能で対数近似を選択して引くことが出来る近似曲線の式
について教えてほしいのです。

対数近似の式y=aln(x)+bの係数aとbを算出して、曲線と実際のデータとの
乖離している差をエクセルの関数を使って算出したいのです。


おかしな条件かもしれませんが、yの値は(-)負の値もとりますし、バラバラ
です。
なんとなく、わかる範囲で計算したのですが、yが負の値だとエラーがでて
計算してくれなくて・・EXCELのグラフの機能であれば、問題なくグラフ化される
ので、私の計...続きを読む

Aベストアンサー

セルB1:B10にyの値、セルC1:C10にxの対数が入っているとして、

a = SLOPE(B1:B10,C1:C10) = -0.813587162
b = INTERCEPT(B1:B10,C1:C10) = 1.050875616

――となりました。MS-Excel2000で試してます。
ワークシート関数SLOPE及びINTERCEPTについては、Excelのヘルプをどうぞ。
関数FORECASTあたりみとくと、幸せになれるかも。


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