![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
数学の問題です。(多分、二項定理の問題だと思います)
nを2以上の整数として、
An = 2*nC2 + 3*2*nC3 + 4*3*nC4 + ・・・・・・ + n(n-1)*nCn
Bn = nC0 - nC2/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1 (Cはコンビネーションです)
とする。このとき、An*Bn-1=(n+ (ア) )*(イ)^n + (ウ) となる。
答えは、ア=(-1) イ=(2) ウ=(-2) です。
因みに、略解には、Σ k(k-1)nCk = n(n-1)*Σ n-2Ck-2 とあります。
(Σは、個数n個、k=2 です)
早稲田大学の人間科学の問題らしいです。(2010)
全く分からないので、解説をお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
問題にいくつか誤記がありそうですね。
>Bn = nC0 - nC2/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1 (Cはコンビネーションです)
これは正しくは次の式ではありませんか?
Bn = nC0 - nC1/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1
>An*Bn-1=(n+ (ア) )*(イ)^n + (ウ) となる。
また、この答えの式は次の通りではありませんか?
(括弧を付けないとどこまでがひとまとまりなのかはっきりしません。)
An*B(n-1)=(n+ (ア) )*(イ)^{n + (ウ)} となる。
-2
さて、問題の解答ですが、略解のヒントがすべてと言っていいでしょう。
このヒントと二項定理を使って An, Bnをそれぞれ簡単にして求めます。
An
=Σ[k=2→n] k(k-1) n_C_k
=n(n-1)Σ[k=2→n] (n-2)_C_(k-2) (∵ k(k-1) n_C_k=n(n-1)(n-2)!/[(k-2)!{(n-2)-(k-2)}!]=n(n-1) (n-2)_C_(k-2) )
=n(n-1)Σ[k=0→n-2] (n-2)_C_k
=n(n-1) (1+1)^(n-2) (∵ 二項定理から)
=n(n-1) 2^(n-2)
Bn
=Σ[k=0→n] (-1)^k (n+1)_C_(k+1)/(n+1)
=1/(n+1) Σ[k=1→n+1] (-1)^(k-1) (n+1)_C_k
=1/(n+1) {1-Σ[k=0→n+1] (-1)^k (n+1)_C_k}
=1/(n+1) {1-(1-1)^(n+1)} (∵ 二項定理から)
=1/(n+1)
∴AnB(n-1)
=n(n-1) 2^(n-2)×1/n
=(n-1) 2^(n-2)
No.1
- 回答日時:
k(k-1)*nCk
=k(k-1)n!/(k!(n-k)!)
=n(n-1)(n-2)!/((k-2)!(n-k)!)
=n(n-1)*(n-2)C(k-2)
nCk/(k+1)
=n!/(k!(n-k)!(k+1))
=n!/((k+1)!(n-k)!)
=(n+1)!/((k+1)!(n-k)!(n+1))
=(n+1)C(k+1)/(n+1)
を利用して、
An=Σ[k=2・・・n]k(k-1)nCk
=Σ[k=2・・・n]n(n-1)*(n-2)C(k-2)
=n(n-1)Σ[k=0・・・n-2](n-2)Ck
=n(n-1)*2^(n-2)
Bn=Σ[k=0・・・n](-1)^k*nCk/(k+1)
=Σ[k=0・・・n](-1)^k*(n+1)C(k+1)/(n+1)
=Σ[k=1・・・n+1](-1)^(k-1)*(n+1)Ck/(n+1)
={Σ[k=0・・・n+1](-1)^(k-1)*(n+1)Ck-(-1)^(-1)*(n+1)C0}/(n+1)
=1/(n+1)
An*B(n-1)=n(n-1)*2^(n-2)*1/n=(n-1)*2^(n-2)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 初項3、公差6の等差数列{an}と、初項1、公差4の等差数列{bn}がある。この2つの数列に共通に含 2 2022/03/24 18:57
- 建設業・製造業 歯車の製造の仕事の難度 1 2022/07/25 19:04
- 数学 次の問題について解答あるいはその方針を教えてほしいです。 a_(n+1)=1/(2+a_n) a_1 2 2022/11/03 21:51
- 数学 二項定理について質問です。 下の画像は、大門57-(2)の問題で、(x^3 – 1/x^2)^10 5 2023/01/08 00:28
- 数学 次の問題について解答あるいはその方針を教えてほしいです。 a_n+1=1/(2+a_n) a_1=a 1 2022/11/03 21:36
- 数学 …こりゃ酷すぎる。回答者諸君、しっかりしなさい。初等的な問題にはまず初等的な解法を示すべきと心得よ。 7 2022/04/11 22:00
- 数学 二項定理と乗法定理の問題について 2 2022/04/25 22:05
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
Σの添え字について
-
Π←これは一体?
-
近似曲線の数式を手計算で出し...
-
Σk(k+1) k=1 式を教えて下さい ...
-
三乗の公式
-
数列の問題です。次の数列の和...
-
Z=e^(x+y)について2変数のマク...
-
平面の計算方法
-
n次導関数!!
-
最小二乗法における有効数字に...
-
エクセルによる近似(回帰)直...
-
シグマの記号の読み方
-
べき乗則を最小二乗法で求める
-
19 Σk k=6 の和を求めろという...
-
Σの下にくるk=1のkってなに...
-
2変数関数の近似曲線
-
無限級数の収束、発散を調べ、...
-
数列の応用の格子点の個数に関...
-
数b 数列の和の問題です ※n:Σの...
-
Σの計算
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報