同軸ケーブル 伝送の仕組み TEMモード Maxwell方程式 円柱座標 ポアソン方程式

芯線と円筒導体からなる同軸ケーブルはその芯線と円筒導体の隙間が誘電率ε、透磁率μで満たされていて、その隙間をケーブルの長さ方向の成分を持たないTEMモードの電磁波が伝わるとします。
ここでMaxwell方程式は
∇×E＝-∂B/∂t
∇×B=με∂E/∂t
∇･E＝0
∇･B＝0
とかけます。
同軸ケーブルの芯線がz軸となるように円筒座標(r,φ,z)とおき、
電場が円筒座標でr成分しかも持たないとして
Er=f(r)exp(ikz-iωt)、f(r)はrの関数
とおいてMaxwell方程式からErの波動方程式
ΔEr＝(k^2-μεω^2)Er
を導出してそこからf(r)を求めたいのですが
f(r)の式がよくわからない形の微分方程式が出てきてしまいました。
これはどう解けばよいのでしょうか。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/17 23:00

#2の解は、#1の解に矛盾している。

#2の方法では余分な解が
含まれてしまう。たとえば、m=0 や w²με=k² 以外の解は#1
では許されていない。

問題文を読むと私の考えとは異なっているようだ。
https://www.phys.s.u-tokyo.ac.jp/wp-content/uplo …

そこで、これに沿って考えてみる。そこでは、E,Hはφに無関係と
仮定している。・・・・・(a)

1.
すると#1の⑥と上の(a)から、e(z)をあるzの関数として
　∂r(rEφ)=0 → Eφ=e(z)/r
となる。すると、同軸の内外径の位置では境界条件から、電界の
接線成分(Eφ)は0なので e(z)=0 となる。つまり、
　Eφ=0
を得る。すると#1の④にこれを入れると
　Hr=0
を得る。

2.
#1の⑤⑦から　 Hφ=∂zEr/iwμ、Er=∂zHφ/iwε
まとめて　
　∂z²Er=-w²μεEr・・・・(b)
という波動方程式が得られる。これは私が電磁界を求めるための
波動方程式とは違っている (これから求められるのは k²=w²με
として、exp(ikz)だけ)。

3.
　Er=e(r)exp(ikz-iwt) , Hφ=h(r)exp(ikz-iwt)
とすると

　#1の⑤ → h(r)=e(r)k/wμ・・・・(c)
　#1の⑦ → e(r)=h(r)k/wε
　#1の⑨ → ∂r(rh(r))=0 → h(r)=A/r
(c)から
　e(r)=Awμ/(kr)
を得る。

　e(a)=E₀から　Awμ/(ka)=E₀ なので
　e(r)=E₀a/r

つまり、あなたが思っている波動方程式から解は得られず、マクス
植えるの式から求めている。

ぐったりなので以下略。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/17 18:13

やはり出ましたか。

当該の問題は知りませんが考えてみた。

1.

F=F(x,y,z)exp(-iwt)の解のみ考えると
xyz直交座標の波動方程式
　∇²F-w²μεF=0
を円筒座標に変換すると
　∇²Fr-Fr/r²-(2/r²)∂φFφ+w²μεFr=0
　∇²Fφ-Fφ/r²-(2/r²)∂φFr+w²μεFφ=0
　∇²Fz+w²μεFz=0
ここで、
　∇²=∂r²+(1/r)∂r+(1/r²)∂φ²+∂z²
である。
http://www.yamamo10.jp/yamamoto/study/electromag …

したがって、ベクトルFはz成分以外、単独の成分のみの波動方程式
は得られず解析は困難。ただ、簡便なTEM波の解析でも
　Eφ=Hr=0
の仮定を行っているので、これなら、波動方程式はz成分以外でも
　∇²Fr-Fr/r²+w²μεFr=0
　∇²Fφ-Fφ/r²+w²μεFφ=0
となり解析が可能。

2.

するとErについての波動方程式は
　∂r²Er+(1/r)∂rEr+(1/r²)∂φ²Er+∂z²Er-Er/r²+w²μεEr=0
となる。

解析の定石、
　Er=R(r)Φ(φ)Z(z)
として、変数分離の解を求める。まず、z成分を分離すると
　R''/R+(1/r)R'/R+(1/r²)Φ''/Φ-1/r²+w²με=-Z''/Z
左右の項はr,φとzの独立変数の関数なので定数となるから k²と置
いて
　-Z''/Z=k² → Z=exp(ikz) (減衰・発散しない解の内、進行波
成分を取る)

次に、Φを分離すると
　R''/R+(1/r)R'/R-1/r²+w²με-k²=-(1/r²)Φ''/Φ
→ r²R''/R+rR'/R-1+(w²με-k²)r²=-Φ''/Φ
となり、同様の手順で両式は定数となり、これを m²と置くと
　-Φ''/Φ=m² → Φ=cos(mφ)
を得る。ここで、Φ(0)=(2π)となる必要があり、周期解となるよ
うに定数を選び、一般解としては sin/cosの和であるが回転の初
期条件が不明なので、cosだけ選んでも一般性を失わない。

また、Z,Φの定数係数は省略したが、Rの解に含めればよいので
略した。

最後に
　r²R''/R+rR'/R-1+(w²με-k²)r²=m²
→ R''+R'/r+{(w²με-k²)-(m²+1)/r²}R=0

ここで、(w²με-k²)>0 として
　x=(√(w²με-k²))r
の変数変換をすると R(r), R'=dR/dr → R(x), R'=dR/dx として
　R''+R'/x+{1-(m²+1)/x²}R=0
となる。こればベッセルの微分方程式なので解が得られるが
(m²+1)は平方にならないので、解は簡単ではない。

Hφは前の#1の⑤から求められる。

3.

なお、#1のTEM波の解とこの解の関係であるが
　w²με=k²、m=0
の場合
　R''+R'/r-R/r²=0
となり、この特殊解は
　R=A/r
となり、#1の解が得られる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/17 01:42

同軸の場合、TEM波を波動方程式から解くのは難しい。

というのは
円筒座標のラブラシアンが、各座標成分に分離できない。

唯一、 z 成分のみ成分分離した波動方程式が得られる。このため、
TE,TM波の場合は波動方程式が座標成分独立で得られて解くことが
できる。

そこで、この場合は静電界に倣って、
　Eφ=Hr=0・・・・・・①
という仮定をおいて解く(この仮定をすれば、各成分の波動方程式
が得られるが面倒であり検討していない)。

さらに、TEM波の条件
　Ez=Hz=0 ・・・・・②
つまり
　E=<Er,0,0>exp(-iwt)
　H=<0,Hφ,0>exp(-iwt)・・・・③
と仮定する。

するとマクスウェルの式は①②から
　(1/r)∂φEz-∂zEφ=iwμHr　　　　　→ Hr=0・・・・④
　∂zEr-∂rEz=iwμHφ　　　　　　　 → Hφ=∂zEr/iwμ・・・⑤
　(1/r)∂r(rEφ)-(1/r)∂φEr=iwμHz　 → ∂φEr=0・・・・⑥

　(1/r)∂φHz-∂zHφ=-iwεEr　　　　 → Er=∂zHφ/iwε・・・⑦
④から
　∂zHr-∂rHz=-iwεEφ　　　　　　　→ Eφ=-∂zHr/iwε=0・・・⑧
　(1/r)∂r(rHφ)-(1/r)∂φHr=-iwμEz → ∂r(rHφ)=∂φHr=0・・・⑨

⑤⑦から
　∂z²Hφ=-w²εμHφ・・・・・・・⑩
⑤に∂φを取って、⑥を使うと
　∂φHφ=0
となり、Hφは r,z のみの関数だから、⑩満たす解の内、変数分離形
式の解だけ求めると
　Hφ=h(r)exp(ikz) , k=w√(εμ)
となる(進行波成分のみ取って)。

これを、⑨に入れると　∂r(rh)=d(rh)/dr=0 となり、Aを定数として
　h=A/r → Hφ=(A/r)exp(ikz)
となる。

これを⑦に入れて
　Er=(Ak/wεr)exp(ikz)=A√(μ/ε)(1/r)exp(ikz)
となる。

④⑧も含め、以上をまとめると
　E=<A√(μ/ε)(1/r),0,0>exp(ikz-iwt)
　H=<0,A/r,0>exp(ikz-iwt)

この回答へのお礼

円筒座標のラブラシアンが、各座標成分に分離できない。とのことですが、実は参考にしている問題ではEr成分を求める流れとなっています。どうにかその流れにのって求められないでしょうか。ちなみに、その問題の出典は東京大学理学系物理専攻大学院入試の令和2年度、第3問、設問3です。

お礼日時：2022/08/17 16:34