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オイラーの公式からθ=2πと代入するとeの2πi乗は1となってどうも矛盾が生じてしまうんですが。本来eの0乗が1と定義したので、もしも仮にeの2πi乗は1であると仮定すれば2πi=0となっておかしいことになるのですが、お分かりになれば深く教えてください。

gooドクター

A 回答 (6件)

e^z=1という方程式を複素数上で解くと、z=2nπi(nは整数)となります。


従ってz=0もz=2πiも正しい解となります。
x^2=1の解がx=±1だから-1=1だと言っているようなものです。
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eの実数乗とeの複素数乗がごっちゃになっているようですね。


単調増加(あるいは減少)なのは実数軸方向です。虚数軸方向では周期2πの周期関数になります。
eの実数乗のグラフに螺旋を90°ずらして合わせたようなグラフになります。
以下にそのグラフがあります。本来4次元ないと書き表せないものを2つの3次元グラフに分けて描いてあるので理解するのが難しいと思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
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e^zは複素関数としては、虚軸に平行な方向に2πの周期を持つ


周期関数です。
z=x+iyと実部xと虚部yを用いてzを表すと、
e^z=e^(x+iy)=e^x・e^iy=e^x(cosy+isiny)
となって、yをy+2nπにしてもcos、sinは周期2πの周期関数だから、
値は同じです。
xが一定、yが一定の直線の指数関数による像を、複素平面に描いてみる
と良いと思います。
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なかなか面白い考え方ですね



では
cos(0π)=1
cos(2π)=1
cos(4π)=1


だから
0π=2π=4π=・・・・
となのでしょうか?

もちろん違いますね。三角関数は引数(cos○の○部分)の値を読み取り、ある値を返すというものです。(cosで、引数がπだったら-1を返す。みたいな)。ご存知のように三角関数は2πで一周するので、あたかも上に示したような0π=2π=4π=・・・・という不可解な関係が導けてしまうのです(もちろんこの等式は成り立ちませんよ)。

つまり、質問者さんが疑問に思われている矛盾を解決する一言は
「一周してるから」
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> オイラーの公式からθ=2πと代入するとeの2πi乗は1となってどうも矛盾が生じてしまうんですが。


ぜんぜん矛盾していません。
勘違いしていませんか?
e^(2πi)=cos(2π)+i sin(2π)
= 1 + i 0
= 1
複素平面で単位円を描いたらe^(i2π)=1となることは明らかです。
|e^(i2π)|=1

いずれにしても
> eの2πi乗は1であると仮定すれば2πi=0となっておかしいことになるのですが、
あなたがいかにいい加減に複素数の勉強をしているか、露呈しているだけに過ぎません。
「cos(2nπ)=cos(0)」→「2nπ=0」と結論付けていることと変わらないです。
e^x=1=e^0ならx=0といえるのはxが実数の範囲です。
e^(i2nπ)(nは0でない整数とする)
これが
e^0=1に等しいからといって
i2nπ=0
とはいえません。
頭をよく冷やして、
複素数の勉強の復習をやり直して見られることを強くお勧めします。
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つまり, 1^0 = 1 かつ 1^1 = 1 より 1 = 0 と主張している?

この回答への補足

eのx乗はxについて単調増加なので1になるというのはただ1つしか
存在しないとおもったので。

補足日時:2008/08/05 08:25
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