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ラウエ関数の導出の仕方が分からず困っています。
簡潔に書きますと散乱ベクトルがs、基本ベクトルがaの時に

Σ_u{exp(-iu s・a)}が
(u =1~N)

sin(iN s・a /2)
________________

sin(i s・a /2)

となるようなのですが、この導出についてはどの本を読んでも結果が書かれているだけで途中経過について詳しく書かれてはいないのです。
また、極大を持つ条件は分かるのですが、極大値がN^2になることも今ひとつ理解に苦しんでいます。
参考文献や参考URLでも結構ですので教えてください。

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A 回答 (1件)

まず,sin の中身の i は余分ですね.



(1)  Σ{u=1~N} {exp(-iu s・a)}

(2)  sin(N s・a /2) / sin(s・a /2)
とならないのは N=1 とおいてみれば明らかでしょう.

問題にするべきは散乱強度ですから
(3)  G = |Σ{u=1~N} {exp(-iu s・a)} |^2
です(絶対値の2乗).
(1)は等比級数の和の形ですから,和は簡単に求められて
(4)  G = |sin(N s・a /2)|^2 / |sin(s・a /2)|^2
を導くのは難しくないでしょう.
波を sin で記述していると,
和を求めるのに多少トリッキーなことをしないといけませんが,
上のように簡単にできるのが複素表示の利点の1つです.

(4)は
(5)  N s・a /2 = πの整数倍
のところでゼロになりますが(分子がゼロになる),
(6)  s・a /2 = πの整数倍
が同時に成り立つときはゼロにならず極大になります(分母もゼロになる).
この極大を主極大と呼んでいます.
主極大の高さが N^2 になることの本質は
(7)  lim_{x→0} |sin(Nx)/sin(x)|^2 = N^2
です.
N は関連する原子数ですから,非常に強い極大になります.
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この回答へのお礼

siegmundさん、回答ありがとうございます。
私も虚数iが余計ではないかと思っていたのですが、本によってラウエ関数の表記が違っていたりして困っていたのです。そこを指摘していただけただけで大変参考になりました。

お礼日時:2003/11/24 19:43

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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q実空間と逆空間のイメージとつながり

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点になるのは球面はが広がった時に干渉して強め合ったところだけ出てきたってことですよね。
しかし、回折点がどの格子面に対応するのかがよく分かりません。(結晶の向きが分かっているってことなら、いいのですが。どこから面を透過してきた波なのか分からないのに基準はどこにとるのでしょう?)みなさんはどのようにはっきりとしたイメージが持てるようになりましたか、コツのようなものをお教えください。
ちなみに関連したことで、フーリエ変換というのも時間→(角)周波数ですから、単位を見て逆数になっているのでデルタ関数はいろんな周波数を含んでいるなぁとはなんとなく式を見て分かるのですが、こちらも(変換の過程の)イメージがはっきりしないのです。
どうもこれらの知識が繋がってきません。
これらのイメージを表示できるフリーソフトなどがあれば教えて下さい。
よろしくお願いします。

X線回折や電子線回折などで用いる逆空間についての質問です。X線回折などの質問はすでに出ているようなのですが、私の聞きたいところはどうも無いようなので質問させていただきます。
逆空間の点は実空間の面に対応しているなどと本に書いてありますので知識としては知っていますが、実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめません。なんとなくは分かるのですが。
実空間で長いものは逆空間では短くなる。その逆もそうですよね。逆空間で点に...続きを読む

Aベストアンサー

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆空
>間に対応しているのか間のイメージがはっきりとつかめ
>ません。
については結論から言って上に書いた関係をはがき程度のメモに絵を描いてポケットに忍ばせておき、時折その絵を眺めつつイメージをたくましくしていく以外にないのではないでしょうか。フーリエ変換の関係も同じです。
このあたりのイメージを強めていくのに下記URLが参考になると思います。そこには「マイクロ波による散乱実験を通して逆格子空間を体感する」とあります。がんばってください。
(P.S)
フリーソフトは知りませんが、バンド理論というキーワードで検索すればヒットするかも知れません。

参考URL:http://labeweb.ph.kagu.sut.ac.jp/LabExercise/micro/micro.html

逆空間は逆格子空間のことですね。例の結晶格子の基本ベクトルをa,b,cとし、逆格子ベクトルをa*,b*,c*とすると
a*=(b×c)/V、b*=(c×a)/V、c*=(a×b)/V
Vは結晶の単位胞の体積でV=a・(b×c)=・・・
一般に逆格子空間の原点から(h,k,l)なる逆格子点に至るベクトルをP(hkl)とするとP(hkl)=ha*+kb*+lc*は実空間の格子面(h,k,l)に垂直で大きさ|P|は(h,k,l)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質を持っていますね。
以上、前書きが長くなりましたが、ご質問の
>実空間からどのように考え(どのように変換して)逆...続きを読む

Qラウエ条件とブラッグ条件

ラウエ条件からブラッグ条件を導出することについて躓いているので教えてください。

散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とするとラウエ条件は
(1) s・a = 2πn n∈整数
ですが、(1)の左辺の内積を書き換えると
(2) |s||a|cosθ = 2πn
となり、更に波数ベクトルを波長で表せば
(3) (2π/λ)|a|cosθ = 2πn
これを更に書き換えれば
(4) |a|cosθ = nλ
これがブラッグ条件に相当する、とX線回折の本には書いてあるのですが、ブラッグ条件は一般的に
(5) 2d sinθ = nλ
のようにサインの形で書かれておりどうやって一致させているのかが分からず困っております。
角度の取り方がラウエ条件を考察する際とブラッグ条件を考察する際に違うのでしょうか?教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
s(hkl)=ha* + kb* + lc*
で定義され、sは実格子の格子面(hkl)に垂直で大きさ|s|は(hkl)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質をもっています(a*,b*,c*は逆格子ベクトル)。
いま、弾性散乱を仮定しますので
 |k1|=|k2|=|k|  (4)
とおけます。すると△kは(絵を書けばよく分かる)
 △k=2ksinθ  (5)
となります。波数ベクトルkはs方向を向いていますね。(3)より
 2ksinθ=s  (6)
両辺にベクトルdをかけると、(2)を使って  
 2kdsinθ=s・d=2πn  (7)
また、k=2π/λ であるから(7)は
 2(2π/λ)dsinθ=2πn
これから
 2dsinθ=nλ (8)
でいいと思いますが。

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
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Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Q回折の条件 散乱ベクトルと逆格子ベクトルについて

大学でキッテル固体物理学入門の教科書を使用しているものです。
今、回折の条件という項目のところをやっており、
考えても理解のできない箇所がありましたので質問させていただきます。

試料結晶にX線を入射させた時の
入射X線の波動ベクトルをk、散乱X線の波動べクトルをk´として
散乱ベクトルをk-k´=-Δk
と表すそうなのですが、散乱振幅Fを表す式について
”周期的な格子によるブラッグ散乱においては、許されるΔkはどれもある逆格子ベクトルGに等しくなければならない”
とあるのですが、
許されるΔkがある逆格子ベクトルGに等しくなければならないという理由がよくわかりません。
調べると、回折条件は散乱ベクトルが逆格子点になったときにおこる。というふうに書いてありました。
これはなぜなのでしょうか?


また別件で
同様の回折の条件のところで出てきた、位相因子”exp[i(k-k´)・r]”という言葉の理解ができません
こちらのほうもよければ教えていただけないでしょうか。


ご教授よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ラウエ関数 sin(Nx)/sin(x) が出てきてるところがあると思いますが、

>許されるΔkはどれもある逆格子ベクトルGに等しくなければならない”

というラウエの条件はこのラウエ関数が最大となる条件から出てきます。

>回折条件は散乱ベクトルが逆格子点になったときにおこる。

これはエワルドの作図のことを言ってると思いますが、上のラウエの条件を幾何学的に表現し直しただけで、同じことを指しています。

Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Qエクセルで片対数グラフを作る

エクセルで片対数グラフを作る方法を詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

グラフの数値軸のところで右クリックして
軸の書式設定(O)→目盛(タブ名)

対数目盛を表示する(L)
にチェックを入れてください。

QBragg反射

今、X線を照射して、各角度におけるピークを見つけて、Bragg角を見つける実験をしています。しかし、少し疑問に思う箇所があるので質問させて頂きたい次第です。

KClとKBrのBragg角を見つけているのですが、どちらも同じ結晶構造です。しかし、Bragg Peakにおいて、同じ結晶構造を持つKBrに見られる反射が、なぜKClでは見られないのでしょうか??自分的には同じ結晶構造だからほぼ同じBragg Peakが見られると思っていたのですが…

どなたかこの理由や原理を教えていただけないでしょうか?お願いします。

Aベストアンサー

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

X線がどのように結晶中で散乱されるかといいますと、トムソン散乱と呼ばれる、各原子の電子の電場との相互作用によって散乱されます。そしてその強度は原子のもつ電子の数にほぼ比例します。

K^+イオンとCl^-イオンは電子数がどちらもArと同じ数なので、原子散乱因子f_Kとf_Clはほぼ同じになります。ですので、KClでは強度がf_K+f_Clになるピークのみが観測され、|f_K-f_Cl|に対応するピークはほとんど見えません。

一方KBrでは、Br^-イオンの電子数はKrと同じでK^+イオンとは差があるので、原子散乱因子にも差があります。なので|f_K-f_Br|の強度のピークも観測できます。ですが、KBrの場合でもほぼ一つおきに強いピークと弱いピークが現れていると思います。(たしか)

以上のことは結晶構造因子というのを計算すると(単位格子の原子の並び方さえわかっていれば計算できます)、どの(hkl)指数のピークがどの程度の強度で観測されるかわかるので、ほぼすべて説明できます。

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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