素朴な疑問について 級数展開で、たとえば三角関数が、 a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...

素朴な疑問について

級数展開で、たとえば三角関数が、
a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...
と、
多項式で表すことができるというのはどうやてわかりましたか？

No.8 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/29 10:33

失礼しました。

f(x)=exp(-1/x) , x>0
　　=0 (x≦0)
でした。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/03/29 16:58

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/29 10:32

ちなみに、除去可能な特異点であってもできない場合がある。

有名な例で
f(x)=exp(-1/x) , x>0
　　=0 (x=0)

この場合は　剰余項 → 0　とならない。f^(n)(0)=0 なので。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/29 06:00

3角関数

cosec(x)=1/sin(x)
は
x=0で定義できないので
a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...
と、
表すことができません

関数f(x)が
f(x)=a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...
と、
表すことができるためには
f(x)がx=0で無限回微分可能で

f(0)=a0
f'(0)=a1
f"(0)=2a2
f"'(0)=6a3
…
f^(n)(0)=n!a(n)

となる事が必要なのです

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/03/29 16:58

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/29 03:58

3角関数

cosec(x)=1/sin(x)
は
x=0で定義できないので
a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...
と、
表すことができません

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/03/29 16:58

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/28 23:54

テイラー展開

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82% …

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/03/29 16:57

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/28 21:29

収束性を無視して形式的にいえば

x=0 が (除去不可能な) 特異点ではない
ことが根拠.

逆にいうと「三角関数」だろうとなんだろうと x=0 が除去不可能な特異点であればそのようには書けない. 具体的には cot x とか.

この回答へのお礼

ごめんなさい。あまりわかりません

お礼日時：2022/03/29 16:56

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/28 19:03

a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋...

が多項式かよくわからないが。

マクローリン展開
　f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+…+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ⁻¹/(n-1)!
　　　　+f⁽ⁿ⁾(θx)xⁿ/n!
　(0<θ<1)
において
　|f⁽ⁿ⁾(θx)xⁿ/n!| → 0 (n → ∞)・・・・①
が成り立てば、命題が言える。

とある定理により、
　∀n, 　|f⁽ⁿ⁾(x)|≦CMⁿ
ならば、マクローリン展開できる。・・・・②

f(x)=sinx のときは |f⁽ⁿ⁾(x)|≦1 なので②が言える。

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2022/03/28 16:59

多分これかな？

オイラーの公式｜三角関数・複素指数関数・虚数が等式として集約されるまでの物語
https://club.informatix.co.jp/?p=3060

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/03/29 16:56