nが正の自然数の時、2n(n²＋n＋1)＋1は素数でしょうか？

nが正の自然数の時、2n(n²＋n＋1)＋1は素数でしょうか？

No.7 回答者： springside 回答日時： 2019/06/09 10:15

>>No.4

マチャセビッチの多項式ね。（19個の変数バージョン）


以下の多項式f(a,b,c,d,e,g,h,i,j,k,m,n,p,q,r,s,t,u,z)に用いられている19個の変数
a,b,c,d,e,g,h,i,j,k,m,n,p,q,r,s,t,u,zに自然数を代入したとき、そのfの値が
正の数になったならば、その値は（必ず）素数になる。
逆に、どんな素数Pに対しても、P=f(a,b,c,d,e,g,h,i,j,k,m,n,p,q,r,s,t,u,z)
となるような19個の自然数a,b,c,d,e,g,h,i,j,k,m,n,p,q,r,s,t,u,zが存在する。

f(a,b,c,d,e,g,h,i,j,k,m,n,p,q,r,s,t,u,z)
=(k+1)[1-{X²-(a²-1)Y²-1}²-{b²-(a²-1)C²-1}²
-{D²-(F²-1)E²-1}²-{G²-(a²-1)H²-1}²
-{g²-((2k+2)²-1)((2k+1)n)²-1}²
-{m²-((I+2)²-1)((I+1)a)²-1}²
-{zG-V-z(a-z)H-(q-1)(2az-z²-1)}²].

ただし、C,D,E,F,G,H,I,V,W,X,Yは次の通り。

V=(ku+u-1)(i+j)+i
W=Vh+i+j
H=k+(t-1)(a-1)
G=z+(a-n-1)H+(s-1)(2a(n+1)-(n+1)²-1)
Y=n+H+p
X=W+(a-z-1)Y+(r-1)(2a(z+1)-(z+1)²-1)
C=2cY²
D=X+bd
E=n+2(e-1)Y
F=a+b²(b²-a)
I=n+V+W+z.

これ、実験してみるとわかるけど、「正の数になったならば」という条件は非常に意味があって、
ほとんどの場合、fは負の数になってしまう。（fの形を見れば判るが、ほとんど引き算ばかり）

No.6 回答者： ANOVA_ANCOVA 回答日時： 2019/06/09 00:41

n=7k+1(kは自然数)では、確実に素数になりません。

（証明）

2(7k+1){(7k+1)^2+(7k+1)+1}+1=7(98k^3+56k^2+12k+1)
そこで、98k^3+56k^2+12k+1は自然数より、7(98k^3+56k^2+12k+1)は7の倍数である。
よって、2(7k+1){(7k+1)^2+(7k+1)+1}+1は7の倍数より、n=7k+1(kは自然数)で表される自然数nの場合は、2n(n^2+n+1)+1は素数とならない。

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/08 18:31

いいえ。

反例：
n=17のとき
2×17×(17^2 + 17 + 1)+1=10439=11×13×73

反例を一つ示せば命題は偽になりますが、他はn=15, n=20, n=50も素数にはなりません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/08 18:26

えーと確か、26個の変数に任意の整数を代入すると

値は素数になるか0になるかのどっちか
という多項式が発見されてたはずだけど...

＞｢常に素数になるような式｣を発見できる中学生は世界のどっかしらにいると思います。

猿にタイプライターを持たせておくと、いつかは
シェイクスピアの全作品を打ち出すそうだから、
そういう中学生もいるかもしれないね。
いや、中学生じゃ人数が足りないか...

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/06/08 17:35

>>｢常に素数になるような式｣を発見できる中学生は世界のどっかしらにいると思います。

そういう主張をするのであれば、合理的な根拠を示さないと無意味だね。
「証拠も根拠もないですが。」と言っているから、判ってはいるんだろうけど。

>>ちなみにこれらはいつ頃に勉強しますか？
自分で調べれば？
少なくとも大学以上だけどね。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/06/08 17:20

あのねぇ、「常に素数になるような式」を発見するっていうのは、とてつもなく難しい問題で、中学生程度の能力では全く手が出ないよ。

諦めたほうがいい。

ある程度の素数だけを表せればいいのなら、n²-n+41はn<41のときは素数になる。（オイラーの式）
47n² − 1701n + 10181ってのも、n=0,1,2,…,42のときは素数になる。


1変数ではなく、多変数の多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られているけどね。
以下がその例。

------------------
k + 2 が素数となる必要十分条件は、次のディオファントス方程式が自然数解を持つこと。

wz + h + j − q = 0
(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z = 0
(16k + 1)³(k + 2)(n + 1)² + 1 − f² = 0
2n + p + q + z − e = 0
e³(e + 2)(a + 1)² + 1 − o² = 0
(a² − 1)y² + 1 − x² = 0
16r²y⁴(a² − 1) + 1 − u² = 0
n + l + v − y = 0
(a² − 1)l² + 1 − m² = 0
ai + k + 1 − l − i = 0
[{a + u²(u² − a)}² − 1](n + 4dy)² + 1 − (x + cu)² = 0
p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n² − 2n − 2) − m = 0
q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p² − 2p − 2) − x = 0
z + pl(a − p) + t(2ap − p² − 1) − pm = 0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
中学生をなめないでください。
｢常に素数になるような式｣を発見できる中学生は世界のどっかしらにいると思います。証拠も根拠もないですが。ちなみにこれらはいつ頃に勉強しますか？

お礼日時：2019/06/08 17:30

No.1 回答者： amakurage 回答日時： 2019/06/08 16:59

n=4のとき、169で、13×13