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Cos-1x=Sin-1(1/3)+Sin-1(7/9)

※Cos-1、Sin-1はそれぞれCos、Sin
 の逆関数のことです。
答えしかなくて困ってるので誰かこの方程式の
途中式お願いします。

A 回答 (1件)

逆三角関数は多価関数ですが,通常の定義では


(1)  -π/2 < Sin^(-1) y ≦ π/2
(2)  0≦ Cos^(-1) y < π
と決めています(主値を取った,といいます).

さて,
(3)  α = Sin^(-1) (1/3)
(4)  β = Sin^(-1) (7/9)
とおきます.
(1)(2)からわかるように,αもβも0から π/2 の間にあります.

元の式
(5)  Cos^(-1) x = Sin^(-1) (1/3) + Sin^(-1) (7/9) = α + β
の両辺の cos をとります.
cos{Cos^(-1) x} = x ですから.
(6)  x = cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ
になります.
当然
(7)  sinα = 1/3   sinβ = 7/9
です.また,
(8)  cos^2 α = 1 - sin^2 α = 8/9
(9)  cos^2 β = 1 - sin^2 β = 32/81
ですが,上に述べたα,βの範囲から
(10)  cosα = 2√2 / 3
(11)  cosβ = 4√2 / 9
がすぐわかります(平方根が負の方ではないということ).
あとは(6)に代入して
(12)  x = 1/3
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この回答へのお礼

最高に詳しい解説ありがとうございました。
たぶん私には何時間考えても浮かばない手ですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/07/09 22:50

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