助変数tを用いて,サイクロイド曲線は { x=t-sint y=1-cost と表される. 区間0≦

助変数tを用いて,サイクロイド曲線は

{ x=t-sint y=1-cost

と表される.

区間0≦t≦2πにおける.サイクロイド曲線とx軸に囲まれる領域の面積を求めよ。

ただし.必要ならば

(sin^2)t=(1/2)(1-cos2t)

(cos^2)t=(1/2)(1+cos2t) を用いてよい.

詳細もお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/09/12 11:41

求める面積を S とすると

x=t-sint, y=1-cost
S=∫[x=0→2π]ydx

dx=(1-cost)dt

S=∫[t=0→2π](1-cost)²dt
=∫[t=0→2π](1-2cost+cos²t)dt
=∫[t=0→2π](3/2-2cost+1/2 cos2t)dt
=[3t/2-2sint+1/4 sin2t][t=0→2π]
=3π