積分、面積

次の問題の解き方を教えてください。

サイクロイド x=t-sint, y=1-cost (0≦t≦π)、直線 y=-x+π+2、および x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/12 18:02

サイクロイド x=t-sint, y=1-cost (0≦t≦π)

t=0 のとき、x=0 , y=0
t=π のとき、x=π , y=2
このサイクロイドは、(0 , 0) , (π , 2) を通ります。

直線 y=-x+π+2
y=0 のとき、x=π+2
x軸との交点は (π+2 , 0)
x=π のとき、y=2
この直線は (π , 2) を通ります。

よって、サイクロイドと直線の交点は (π , 2) です。

グラフをかいてみると、面積を求める図形は、x=0 から x=π まではサイクロイドとx軸で囲まれた部分、x=πから x=π+2 までは直線とx軸で囲まれた部分です。

サイクロイドとx軸で囲まれた部分の面積は、∫[x:0→π] y dx
x=t-sint より、dx/dt=1-cost
x:0→π のとき、t:0→π
∫[x:0→π] y dx
=∫[t:0→π] (1-cost)² dt
=∫[t:0→π] (1-2cost+cos²t) dt
=∫[t:0→π] {1-2cost+(1+cos2t)/2} dt
=∫[t:0→π] (3/2-2cost+cos2t/2) dt
=[3t/2-2sint+sin2t/4] [t:0→π]
=3π/2

直線とx軸で囲まれた部分は直角二等辺三角形で、その面積は
２×２×(1/2)=2

したがって、求める面積は、
3π/2 + 2