この事は円と直線が同じものである事の証明だと理解して良いですね？

以下で、円と直線が同じ方程式で表されると言うてますが、この事は円と直線が同じものである事の証明だと理解して良いですね？
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【高校数学】 数Ⅱ－７４ ２つの円④

質問者からの補足コメント

• 数学は無限大を扱うから非現実的に聞こえるが、半径が無限大の円弧を直線と区別する方法は無い。
  
  ２つのものを区別する事が不可能なら「それは同じもの」とするのが数学の要求です。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/01 09:54

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/01 02:18

円と直線が同じものであるかどうかは、

「円」と「直線」をどう定義するかによる。
円と直線が同じものであるような幾何学は
よく知られている↓が、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2 …
それは通常のユークリッド幾何学ではない。
ユークリッド幾何学では、円と直線は別のものである。

この回答へのお礼

数学は無限大を扱うから非現実的に聞こえるが、半径が無限大の円弧を直線と区別する方法は無い。

２つのものを区別する事が不可能なら「それは同じもの」とするのが数学の要求です。

お礼日時：2020/10/01 09:52

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/30 15:37

面倒なんで動画は見ないが　常識的問題なので解説の内容は想像がつく！

１について
円と直線の交点の座標を(a,b)とすると
これは円周上にあるのだから
a²+b²=50⇔a²+b²-50=0…①
この点は直線上の点でもあるから
3a+b=20⇔3a+b-20=0…②

さて、(x²+y²-50)＋k(3x+y-20)=0…③と置くと
kがいくつの値であっても、x²とy²の項が必ず存在するからこの式が表す図形は円！

そして(a,b)を代入してみる
①②から、(a²+b²-50)-k(3a+b-20)=0+k0=0
となり　「＝」に矛盾がない
このことから　図形➂も元の円と直線の交点(a,b)を通るといえる

以上から　元の円の式と直線の式をkで結びつけ➂という式を作ると
➂は必ず　元の円と元の直線の交点(a,b)を通る円になるといえるのです
（ただし、k=0の場合は　➂が表す図形は元の円と同じになります）

よってこの問題では式➂の作り方を知っている場合
これを使うだけで　元の円と直線の２つの交点を通る円の式がわかってしまうのです（ただしKという文字は式に含まれてしまう）
あとはこれに(10,0)を代入してKを確定させれば　2交点かつ(10,0)を通る円の式になるというわけです

２について
2円の交点を(c,d)として先ほど同様な手段で調べてもらえば
(x²+y²-5)-k(x²+y²-2x-4y+1)=0…4　も交点(c,d)を通る図形であることがわかります！
で、
・kに１以外のどんな数字を代入しても
④を変形整理すればx²とy²の項が存在するので
④が表す図形は円です！
ゆえに④は元の2円の交点を通る円を表す式です

・では、k=1を代入したときはどうでしょうか？
今回はx²とy²の項が消えてしまい　④にはxとyの項が存在していますから
この場合④が表す式は直線です
④式はそもそも、2円の交点を(c,d)を通るものでありましたから
④式はk=1の時に限って、2円の交点を通る直線を表すことになります
これを利用すれば第2問が比較的楽に解けるわけです

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/30 14:50

そのようなことは一切言っていないし

証明でもない
詳細はこの後投稿しますので少々お待ちください。

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/30 13:52

直線と円を一般式

（aｘ²+by²＋ｃ）＋ｋ（ey+fx+g)=0
で表せると言うことです。

正ｎ角形の１つの頂点の内角は、（１８０°ｘ(n-2))/n=180°ー360°/nです。
正∞角形の１つの頂点の内角は、lim[n→∞](180°ー360°/n)=180°
正∞角形＝円、円の１つの頂点に接する直線は接線。接線の内角は180°。
直線の任意の点の片側を内角とすれば、内角は180°。
よって、円と直線は同じものになります。
円はたどれば元の位置に帰るが、直線は帰らないと反論がありますが、直線は
半径が無限の円の一部と考えてもいいわけです。

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2020/09/30 13:29

ん？

質問者さんは一部だけを切り取って「同じ」と主張していると思うのは自分だけでしょうか。