場合の数、組合せ 数学

どの３本も同じ交点で交わらない１０本の直線の交点は、なぜ「10C2」？


「4本の直線が平行であるから、平行な４本の直線で交点が4C2減る」とありますが意味がわかりません。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/05 13:01

どの３本も同じ交点で交わらない１０本の直線の交点は、なぜ「10C2」？

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２本の平行でない直線の交点は１こ
（２本しかないが）直線２本を選べば交点が１個できる→交点の数＝直線２本から２本選ぶ組合せ=2C2
これに互いに平行でない直線１本を追加
３本目が初めの２本の交点を通るようなら交点の数は増えない→問題の条件とは異なる
３本目が初めの２本の交点を通らない場合、言い換えればどの３本も同じ交点で交わらない３本の直線の場合
交点は２個増えて合計３個
これは直線２本の時と同様、直線２本を選べば交点が１個が存在することから
→交点の数＝直線３本から２本選ぶ組合せ=３C2　として求められる。（交点の数と直線２本を選び出す組合せの数が一致）
以下、平行でなく、どの３本も同じ交点で交わらない　ような直線がいくつであっても考え方は同じで、
直線２本を選べば交点が１個できる→交点の数＝直線ｎ本から２本選ぶ組合せ=ｎC2
もし、直線が１０本ならばn=10として交点は１０C2個


4本の直線が平行であるから、平行な４本の直線で交点が4C2減る
＞＞＞
どの３本も同じ交点で交わらない場合
初め平行でない直線が２本あれば交点は１個
これに片方の直線と平行な直線１本を加える
前述の考え方では３本の直線から２本選ぶ組合せは３C2だが
このうち平行な直線同士の組み合わせでは交点ができないので
平行な直線２本から直線２本を選ぶ組合せ2C2は除外して数える必要がある
結果交点は3C2-2C2
更に、前の平行な２直線に平行な直線をもう１本追加
４本の直線から２本選ぶ組合せは４C2だが
このうち平行な直線同士の組み合わせでは交点ができないので
平行な直線３本から直線２本を選ぶ組合せ３C2は除外
→交点は4C2-3C2
以下同様に考えて
どの３本も同じ交点で交わらない１０本の直線があり、そのうち4本の直線が互いに平行であるなら、
直線１０本から２本選ぶ組合せ=１０C2
このうち平行な直線４本から２本を選ぶ組合せでは、交点ができないから４C2は除外
言い換えれば、平行な４本の直線ならば、交点が4C2減る
（交点は10C2-4c2)
という考え方になります！＾＾

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/07/05 09:50

1.　どの2本の線を選んでも1か所他の線と共有しない交点があるから。

2.　うち、4本の線は交点がない状態になっているから。