マンガでよめる痔のこと・薬のこと

た7枚のカードには1から10までのいずれかの整数が1つだけ書かれており、書かれている数は互いに異なる。この7枚から無作為にカードを2枚取り出した時、その和が7以下となる確率はいくつか。

という問題が分かりません。
以下、私の考えた解き方と正しい解き方を順に書いていきます。
私の考えた解き方のどこが間違っているのかを教えてください。



私の考えたやり方↓

(a)和が7以下となるカードの組み合わせ / (b)2枚のカードの全ての組み合わせ で求めることができる。


(a)和が7以下となる組み合わせ
(1,2)、(1.3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)
の9通り。


(b)2枚のカードの全ての組み合わせ
2枚取り出したカードはいずれも1〜10までの数が書かれており、かつ、互いに異なる数である。
つまり、10個の数から2個の数を選ぶということになる。
よって、10C2 = 45通り となる。


(a) / (b) より、
9/45 = 1/5



正しい解き方↓
(a)は私と同じく、9通り、

(b)
7枚から2枚取り出す場合の数は、7C2= 21

よって 9/21 = 3/7

質問者からの補足コメント

  • 7枚のカードには1から10までのいずれかの整数が1つだけ書かれており、書かれている数は互いに異なる。
    この7枚から無作為にカードを2枚取り出した。
    この取り出した2枚のカードに書かれた数の和が7以下となる確率を求めよ。

    です。
    失礼致しました。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/07/25 16:30
  • 回答ありがとうございます。
    確かに1〜10の中から7個が選ばれます。
    そして、その7個の中から2個を選ぶという問題です。
    但し、その選ばれた2個の数の組み合わせは、1〜10の中から2個の数字を選んだ組み合わせと同じではないのでしょうか。


    2個の数の組み合わせとして有り得るものを全て書き出してみると、
    (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(1,9)(1,10)
    (2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(2,9)(2,10)
    (3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(3,9)(3,10)
    (4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9)(4,10)
    (5,6)(5,7)(5,8)(5,9)(5,10)
    (6,7)(6,8)(6,9)(6,10)
    (7,8)(7,9)(7,10)
    (8,9)(8,10)
    (9,10)

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/07/25 16:49
  • (上の補足の続き)

    があります。
    合計で45個の組み合わせがあります。
    10P2の答えと一致します。

    例え、10個のうちから7個選び、さらにその中から2個選んだとしても、組み合わせが45個あることには変わりがないように思えてしまいます。

    この45個の組み合わせのうち、和が7以下のものを選べば良いのだから、9/45となるように思っています。

      補足日時:2020/07/25 16:50
  • 申し訳ございません。

    私が疑問に思ったことを質問する為に少々問題文をいじって掲載していました。
    それで、齟齬が生じているのかもしれません。

    以下、問題文を一言一句変えることなく、掲載します。


    7枚のカードには1から10までのいずれかの整数が1つだけ書かれており、書かれている数は互いに異なる。この7枚から無作為に2枚取り出したカードに書かれている数について次のア、イのことがいえる。

    ア…その和が7以下となる確率は1/3である。
    イ…一方を他方で割った時、余りが0になる確率は11/21である。



    以上が一言一句変えることなく写した問題文です。
    このうちの「ア」の部分についてのみ私は抜き出していました。

    次の補足に続く

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/07/26 18:53
  • アについて、
    7枚から2枚取り出す場合の数は7C1で21通りであり、その1/3は7通りであるので、取り出した2枚の和が7以下となるのが7通りあることになる。
    和が7以下となる組み合わせを全てあげると、
    (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)の9通りになる。
    これを7通りにするために、2つの組み合わせを削らなければならないが、上記の組み合わせで使用される1〜6の数字のうち、2つの組み合わせだけに登場するのが5だけである。
    以上から、7まいのなかに1,2,3,4,6が含まれており、5は含まれていないことがわかる。



    以上がアについての解答の解説です。



    読み返してみると、自分は間違ったこと言ってたなと気付きました。
    (b)が7C2だとは解説では言ってなかったです。

    申し訳ないです。

    また補足に続く

      補足日時:2020/07/26 19:12

A 回答 (6件)

←No.5 への補足


アの条件が成り立つとき、7枚の数字の構成は何か?
という問題なら、補足の続きに書かれた解答で正解だと思います。

その問題が、質問文中に書かれた問題、
No.2 への補足やNo.1 への補足に書かれた問題とは
全く違ったものに見えるので、何をどうツッコんでよいやら
困惑するばかりです。考え方も答えも全然別物ですよね。
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←No.2 への補足


その問題文だと、No.1 No.2 No.4 で指摘された点が何も改善されていません。
確率は 7 枚組の選び方によって異なることになり、ひとつの値に決まりません。

←No.1 への補足
ここでは、問題が改訂されていますね。その設定であれば、
10C2 通りある 2 枚組がどれも同じ確率で選ばれることになります。
その確率が { (8C5)/(10C7) } × { 1/(7C2) } = 1/45 = 1/(10C2) で、計算も合います。
この改訂された問題では、質問文中の「私の考えたやり方」のほうが正解で、
「正しい解き方」は間違っています。

「正しい解き方」がどういう考え方なのか、説明が何も書いてありませんが、
もし No.3 に書かれたように考えたのであれば、それが間違っている理由は
既に No.1 に書かれています。例えば 7 枚組が { 4,5,6,7,8,9,10 } であれば、
そこから引いた 2 枚組 7C2 通りの中には足して 7 以下になる 9 通りはひとつも含まれておらず、
9/(7C2) を計算してもしかたがありません。

「正しい解き方」が正しいのだとすれば、No.2 への補足に引用された問題文が間違っている
ことになります。あの問題文では、No.1 への補足にあなたが書いた題意にはなりませんしね。
この回答への補足あり
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7枚のカードに、1から10までの整数のうちどの7種が書かれているかしだいで、


求めたい確率の値は異なります。
どの7種が書かれているかによって場合分けすべきで、(10C7) = 120 通りの
場合分けと、それぞれの場合の答えがあります。
どの7種の整数が書かれているかについて、何らかの確率分布が与えられている
のであれば、ただひとつの確率の値が求められますが、
質問文を読む限り、そういう設定の問題には見えません。
問題の出典を読みなおして質問を訂正するか、120 通りの答えを求めるか
どちらかにしましょう。
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10個の数から2個の数を選ぶということにならない。


カードに書いた数は7個。
無限回7枚のカードへ1~10の数を7個無作為に重ならないように書いて2枚選んで
9/21=
3/7となる。
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そもそも、問題文は正しい?



「7枚のカードに1から10までの整数が1つずつ書かれている」のであれば、書かれていない数があるはず(7<10だから)。
例えば、4〜10の整数が1つずつ書かれている場合もあり得るし、その場合は、取り出した2枚が(1,2)という組み合わせは存在しない。

問題文を一字一句完璧に正確に書いて下さい。
この回答への補足あり
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> 2枚取り出したカードはいずれも1〜10までの数が書かれており、


カードは7枚しかないので、
「1〜10までの数が書かれており」と言う前提に誤りがあります。
1-10の中から7個が選ばれる状況により、
2枚合計が7と言う組み合わせ数も変わるので、
これも考慮しないといけません。
この回答への補足あり
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