確率の問題です。

1,2,3,4,5 の数字を 1 つ記入したカードが、一つの数字につき２枚ずつ、合計１０枚ある。（１を記入したカー
ドが 2 枚、２を記入したカードが 2 枚、・・・、5 を記入したカードが 2 枚ある。）ここから無作為に 3 枚のカードを
同時に引き、出た数字を小さいものから順に X ≦ Y ≦ Z とする。このとき、　
（１）X,Y の同時確率分布表を作成せよ。
（２）X の周辺分布表を作り、期待値 E(X) と分散 V (X) を求めよ．
（３） Y の周辺布表を作り、期待値 E(Y ) 分散 V (Y ) を求めよ．
（４）X と Y は独立であるか、ないか。独立の定義を書き、その定義に従って判定せよ。
（５） X と Y の相関係数を求めよ。



という問題です。
(2)　E(x)＝3/2　V(x)=9/20
(3) E(Y)=3 V(Y)=3/5

であってますでしょうか？


(5)(√3)/3でよいでしょうか

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/05/08 11:01

#6です。

数列の作り方を根本からやり直しました。二進数を使ってやっています。
Rのスクリプトを上げておきます。


# カードで数列を作る問題
rm(list = ls())

dec2bin <- function(num, digit = 0){
if(num <= 0 && digit <= 0){
return(NULL)
}else{
return(append(Recall(num %/% 2,digit-1), num %% 2))
}}


x <- c(1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5)
w <- NULL

for(i in 1:1023){
k <- dec2bin(i, 10)
if(sum(k) == 3){
w <- rbind(w, x[k == 1])
}}

w <- data.frame(w)
colnames(w) <- c("x", "y", "z")
n <- nrow(w)

# X,Yの二元表と同時確率分布表
table(w[, c(1, 2)])
round(table(w[, c(1, 2)]) / n, digits = 3)

# Xの周辺分布と平均・分散
table(w[, 1])
mean(w[, 1])
var(w[, 1]) * (n - 1) / n

# Yの周辺分布と平均・分散
table(w[, 2])
mean(w[, 2])
var(w[, 2]) * (n - 1) / n

# X,Yの内積（内積が0ならば直交＝独立）
t(scale(w$x)) %*% scale(w$y)

# X,Yの相関
cor(w$x, w$y)

# X,Yのポリコリック相関
library(polycor)
polychor(w$x, w$y)

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/05/08 10:10

#5です。

重複があるのと無いのでは、出現確率は実に4倍も違いますね。まさに汗顔の至りです。

間違いを正した相関係数を上げておきますね。

> # X,Yの相関
> cor(w$x, w$y)
[1] 0.5249568

> # X,Yのポリコリック相関
> library(polycor)
> polychor(w$x, w$y)
[1] 0.6376649

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/05/08 08:41

#4様

すみません。
私が間違っていますね。
それぞれの数値列の出現確率が違うことに、考えが及んでいませんでした。

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2022/05/08 08:09

No.1, 3です。

No.1の回答前にRでシミュレーションで確認済みです。

simulation exact
E(X) 1.6769000 1.6666667
V(X) 0.7025064 0.6888889
E(Y) 3.0207000 3.0000000
V(Y) 1.0668715 1.0666667
r 0.5307538 0.5249568


########### R Script ##########
# シミュレーション用関数
fn <- function(n) {
xy <- matrix(0, nrow = 5, ncol = 5)
for(i in 1:n) {
tmp <- sort(sample(rep(1:5, times = 2), 3))[1:2]
xy[tmp[1], tmp[2]] <- xy[tmp[1], tmp[2]] + 1
}
return(xy)
}

(xy <- fn(10000)) # 度数分布
(p <- xy/sum(xy)) # 経験同時分布
(p.x <- rowSums(p)) # Xの経験分布
(p.y <- colSums(p)) # Yの経験分布

ex <- sum(1:5*p.x) # Xの平均
vx <- sum((1:5 - ex)^2*p.x) # Xの分散
ey <- sum(1:5*p.y) # Yの平均
vy <- sum((1:5 - ey)^2*p.y) # Yの分散
cov <- sum(outer(1:5, 1:5, "*")*p) - ex*ey # XYの共分散
r <- cov/sqrt(vx*vy) # XYの相関係数

# 結果保存用
results <- matrix(c(
ex, 5/3,
vx, 31/45,
ey, 3,
vy, 16/15,
r, (27/16)*sqrt(3/31)), nrow = 5, ncol = 2, byrow = TRUE)
rownames(results) <- c("E(X)", "V(X)", "E(Y)", "V(Y)", "r")
colnames(results) <- c("simulation", "exact")
results

No.3 回答者： qas2021 回答日時： 2022/05/08 08:00

No.2さん

> （#1さんと答えが違う箇所があります）

30通りの組み合わせは等確率ではないので

> # X,Yの二元表と同時確率分布表
> table(w[, c(1, 2)])

以降の計算は間違っています。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/05/08 00:07

Rでやってみました。

数値が分数でなく小数になっていますので、答え合わせに使って下さい。
（#1さんと答えが違う箇所があります）

相関係数は、ポリコリック相関を使うべきなので、それもやってみました。

教えてgooの仕様のため、空白が削除されて見にくいです。すみません。

～～～～～～～～～～～～～～～～～

> # カードで数列を作る問題
>
> x <- c(1:5)
> y <- c(1:5)
> z <- c(1:5)
>
> w <- expand.grid(x = x, y = y, z = z)
> v <- rep(1, length = nrow(w))
>
> # 条件に合致するかどうかの判定
> for(i in 1:nrow(w)){
+ if(w$x[i] == w$y[i] & w$y[i] == w$z[i]) v[i] <- 0
+ if(w$x[i] > w$y[i] | w$y[i] > w$z[i]) v[i] <- 0
+ }
>
> # 条件に合致した数列
> w <- w[v == 1, ]
> w
x y z
26 1 1 2
31 1 2 2
51 1 1 3
56 1 2 3
57 2 2 3
61 1 3 3
62 2 3 3
76 1 1 4
81 1 2 4
82 2 2 4
86 1 3 4
87 2 3 4
88 3 3 4
91 1 4 4
92 2 4 4
93 3 4 4
101 1 1 5
106 1 2 5
107 2 2 5
111 1 3 5
112 2 3 5
113 3 3 5
116 1 4 5
117 2 4 5
118 3 4 5
119 4 4 5
121 1 5 5
122 2 5 5
123 3 5 5
124 4 5 5
> n <- nrow(w)
> n # 個数
[1] 30
>
> # X,Yの二元表と同時確率分布表
> table(w[, c(1, 2)])
y
x 1 2 3 4 5
1 4 4 3 2 1
2 0 3 3 2 1
3 0 0 2 2 1
4 0 0 0 1 1
> round(table(w[, c(1, 2)]) / n, digits = 3)
y
x 1 2 3 4 5
1 0.133 0.133 0.100 0.067 0.033
2 0.000 0.100 0.100 0.067 0.033
3 0.000 0.000 0.067 0.067 0.033
4 0.000 0.000 0.000 0.033 0.033
>
> # Xの周辺分布と平均・分散
> table(w[, 1])

1 2 3 4
14 9 5 2
> mean(w[, 1]) # 11/6
[1] 1.833333
> var(w[, 1]) * (n - 1) / n
[1] 0.8722222
>
> # Yの周辺分布と平均・分散
> table(w[, 2])

1 2 3 4 5
4 7 8 7 4
> mean(w[, 2])
[1] 3
> var(w[, 2]) * (n - 1) / n
[1] 1.533333
>
> # X,Yの内積（内積が0ならば直交＝独立）
> t(scale(w$x)) %*% scale(w$y)
[,1]
[1,] 15.04587
>
> # X,Yの相関
> cor(w$x, w$y)
[1] 0.5188232
>
> # X,Yのポリコリック相関
> library(polycor)
> polychor(w$x, w$y)
[1] 0.6132566

No.1 回答者： qas2021 回答日時： 2022/05/07 22:03

E(Y) しか合っていない。

E(X) = 5/3, V(X) = 31/45
E(Y) = 3, V(Y) = 16/15
ρ = (27/16)√(3/31)