相関係数 標準偏差で割る意味

閲覧ありがとうございます。

ベタな質問かもしれませんが、相関係数を出す際、共分散を標準偏差で割る理由がわかりません。

ミリリットル×値段と、リットル×値段では関係具合は同じなのに共分散にすると数値が違ってくる、というところまではなんとなく理解できています。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/09 10:09

No.2です。

図から分かるように、ｘとｙが共に変化する傾向がまったく一致する場合は、楕円が完全に潰れて単なる線になり、その傾きは１またはー１の線になりますね。

この１またはー１になるというのも相関係数の性質のひとつです。

変化が全く一致していても、それは共分散では分かりません。共分散では分からないから、相関係数を工夫したというところでしょうか。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/09 00:14

No.2です。

45°あるいはー45°にする、というのは、傾きを常に１あるいはー１にして、これをさらに言い換えれば、単位の影響で傾きが変わることを排除して、純粋な共変量の大きさを見たいという目的のためですね。

（No.2は図を添付したために、掲載が遅れます）

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/09 00:08

おっしゃるとおりです。

相関係数は単位に関係ないノン・ディメンジョナルな値です。

ｒ＝Sxy／√Sxx√Syy

で、これは横軸と縦軸とを１に基準化して、いかなる場合も45°あるいはー45°の傾きにして純粋な共変量の強さだけ見るようにするという目的があります。
ちなみに、分母分子をｎで割れば、共分散を両者の標準偏差で割る式に変形できますね。

相関係数ｒと対比されるのが、単回帰係数βです。

β＝Sxy／Sxx

これは、横軸だけを基準化して、横軸が１単位だけ変動した時に縦軸がどれだけ変動するかを見ています。あと、単位が残りますので、ミリリットルとリットルでは傾きが異なります。

なお、ルートが付くか付かないかは、分母分子の次数を合わせるためです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/08 22:50

「理由」なんてありません。

そのように「定義した」だけですから。