
模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。
[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。
===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。
【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不適
----
【0<aかつa-3<0の場合】
(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a
===============================
【a=3の場合】の説明について
どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。
【0<aかつa-3<0の場合】の説明について
なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。
a=3と置くと
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
↓
3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)
↓
3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)
↓
x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)
(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。
「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。
(イ)さえ成り立てば「連立する」のです。
(イ)は、最終的に
x<0
になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x<0と同じ」って事です。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。
「x<0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。
「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。
「なぜ不適なのか」と言われたら「x<0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。
xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう?
>なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。
【0<aかつa-3<0の場合】
って事は
【0<aかつa<3の場合】
です。
【0<aかつa<3の場合】
を満たすaは、1と2だけです。
aが1の場合
(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a
↓
(イ): x<3(1-3)
(ロ): x≦1
↓
(イ): x<3×2
(ロ): x≦1
↓
(イ): x<6
(ロ): x≦1
(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。
つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。
これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。
さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?
それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。
aが2の場合
(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦a
↓
(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦1
↓
(イ): x<3×1
(ロ): x≦1
↓
(イ): x<3
(ロ): x≦1
(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。
つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。
これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。
さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?
それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。
これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。
なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。
出題者が欲しい正解は
「aが○○の時」
です。
aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、0個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。
aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。
No.1
- 回答日時:
>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
にa=3を代入すると、
(イ)は、3x<0 → x<0
(ロ)は、(a-3)=0なので、xがすべての実数で成り立つ
よって、「(イ)を満たしかつ(ロ)も満たすxの範囲はx<0」となります。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。
x<0のすべての実数で成り立つ訳ですから「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。
>【0<aかつa-3<0の場合】の説明について
>なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。
>(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
>(イ): x<3(a-3)
>(ロ): x≦a
(イ)と(ロ)はどちらも負の方向には際限がない訳ですから、「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。
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