フーリエ変換に関して、質問があります。 画像の一枚目を2枚目の赤い下線部の式にするにはどうすれば良い

フーリエ変換に関して、質問があります。
画像の一枚目を2枚目の赤い下線部の式にするにはどうすれば良いでしょうか？
また、
画像の3枚目を青い下線部の式を4枚目の式にするにはどうすれば良いでしょうか？

詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

最後に5枚目の画像の水色の下線部以外の式はすべて0になると本に書いてあったのですが解説を読んでもいまいち理解できませんでした。0以外の式がすべて0になる理由をわかりやすく教えて下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/09 08:41

あれ？

∫[-π,π] sin(nθ)cosθ dθ = 0 {n=1}
について誰もツッコまないなあ...

n=1 だけ、No.2 の計算とは別に
∫[-π,π] sin(θ)cosθ dθ
= ∫[-π,π] (1/2)sin(2θ) dθ
= (-1/4)cos(2π) - (-1/4)cos(-2π)
= 0
とか
∫[-π,π] sin(θ)cosθ dθ
= ∫[-0,0] s ds　　；s=sinθ
=0
とか
やってくださいね。1/(n-1) が使えないから。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/05 14:55

・θ=(π/L)t、f(θ)=f((π/L)t)=g(t) として置換積分

・積→和の公式でcosやSinを分解してから積分する。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/05 08:14

1枚目を2枚目にしたり

3枚目を4枚目にしたりするのは
無理というか、違うと思います。
2枚目を1枚目に
4枚目を3枚目にするには
L=π, g(x)=f(x) を代入して
t=θ で置換積分すればよいです。

５枚目について。
「0以外の式がすべて0になる」？
はて、何のことやら。
「水色の下線部以外の式はすべて0になる」は、
『水色の下線部以外の項はすべて0になる』
の間違いだと思います。
水色の下線部以外の項とは、
a(n) ∫[-π,π] cos(nθ)cosθ dθ {n=2,3,4,...} と
b(n) ∫[-π,π] sin(nθ)cosθ dθ {n=1,2,3,4,...}
のことですね。
a(n), b(n) は f(θ) しだいでいろいろ変わるので、
∫[-π,π] cos(nθ)cosθ dθ = 0 {n=2,3,4,...},
∫[-π,π] sin(nθ)cosθ dθ = 0 {n=1,2,3,4,...}.
を計算して見せればよいわけです。

三角関数の積和公式を使って、
∫[-π,π] cos(nθ)cosθ dθ
= ∫[-π,π] (1/2){ cos((n+1)θ) + (1/2)cos((n-1)θ) }dθ
= (1/2){ (1/(n+1))sin((n+1)π) - (1/(n+1))sin((n+1)(-π)) }
　＋ (1/2){ (1/(n-1))sin((n-1)π) - (1/(n+1))sin((n-1)(-π)) }
= 0,
∫[-π,π] sin(nθ)cosθ dθ
= ∫[-π,π] (1/2){ sin((n+1)θ) + (1/2)sin((n-1)θ) }dθ
= (1/2){ - (1/(n+1))cos((n+1)π) + (1/(n+1))cos((n+1)(-π)) }
　＋ (1/2){ - (1/(n-1))cos((n-1)π) + (1/(n+1))cos((n-1)(-π)) }
= 0.

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2022/09/05 06:16

もう少々お待ち下さい…。