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近似式の定理で、値 a が値 b に比べて十分小さい場合、a^2 + b^2 ≒ b^2 という式が成り立つようなのですが、これはどのように導かれるのでしょうか? 近似式に関する情報を探してみましたが、この式についての記載は見当たりませんでした。なお、この式が今年の電験3種(理論)の試験問題を解くために必要な近似式で、ここでひっかかってしまっています。

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A 回答 (6件)

こんばんわ。



a^2+ b^2
= b^2* (1+ a^2/b^2)
≒ b^2 (∵ |a|<< |b|より a^2/b^2≒ 0)

通常「十分小さい」というと、おおよそ 1/100以下であることを言うことが多いので、
2乗同士の割り算であれば、0.01^2= 0.00001となって、さらに小さくなることがわかります。
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十分に小さくても、無視(省略)しないで計算するけど、十分に小さいものに対して更に十分に小さいものは無いに等しいと判断するということですね。


つまり、十分に小さいだけでは省略しないけど、十分に小さいものの二乗は省略する、という理解で良いと思います。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。考え方がわかりました。
この質問はこれにてクローズします。他の方もありがとうございました。

お礼日時:2010/11/01 11:43

>>a+b≒b はどうでしょうか? この a<<b の条件が与えられた場合に


「式が近似式である」と言える境界がよくわかりません。
少しは考えたのか? No2さんの回答があるんだから同じ方法でやったら。
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a が b に比べて十分小さい場合、


aa は ab に比べて十分小さく、
ab は bb に比べて十分小さい。
そこで、aa と bb を比べると?

この回答への補足

皆様ありがとうございます。
a^2+b^2≒b^2 が成り立つことはわかりました。が、そうなると、
a+b≒b はどうでしょうか? この a<<b の条件が与えられた場合に
「式が近似式である」と言える境界がよくわかりません。

補足日時:2010/10/09 06:32
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図形で考えてみましょう。



xy平面において、点(a,b)と原点の距離をrとすると
三平方の定理より、r^2=a^2+b^2となります。
aが十分に小さいということは、
点(a,b)はy軸の近くにある点となります。

となれば、r≒bとなりますね。
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例えば


a=0.01,b=100とすると
a^2=0.0001,b=10000となり
a^2+b^2=10000.0001≒10000≒b^2
ですよね....
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Q~に比べて十分大きいので無視できる、と言う意味

例えば、
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Aベストアンサー

φ/(Φ-φ)≒ φ/Φ になります。

例を出して考えてみましょう。
φ=1、Φ=10000とするとΦ-φ=9999です。
φ/(Φ-φ)=1/9999ですが、1/10000とそう大して違いは無いでしょう、という意味です。

分子のφに関しては幾ら小さいからと言って無視するわけにはいきません。
無視できるのはΦとφが比べられるような場合だけです。

Q近似式(1+r)^n≒1+nrの由来について。

1>>rの時、近似式(1+r)^n≒1+nrは有名な式ですが、
私はこの式は2項定理から証明するものだと思っていたので、
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今日、参考書でn=-1の時にこの近似式を使っているものを見ました。
そういえばn=1/2などでも使っていたものがあったような気がします。 
nがマイナスや分数、あるいは無理数の時、この近似式はどこから導かれているのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

テイラー展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
をしたとき、
第1項は1、第2項はnrとなり、第3項以降は、r^2 の項、r^3 の項、r^4 の項・・・・・になります。

rが1より非常に小さいので、第3項以上は非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・の項になります。

係数がどうであれ、非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・ですから、1乗の項に比べれば無視できるということです。
よって、第1項(1)と第2項(rの1乗の項)だけの近似が成り立ちます。

Q電子のエネルギーについて

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?

( i)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギーと考えた場合・・・
E = hν = 1/2 mv^2
従って、
p = h / λ = hν / v = 1/2 mv ??
これは運動量の定義と矛盾します。

(ii)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギー+静止エネルギーと考えた場合(電子の速度は光速に比べて十分遅いので)・・・
E = mc^2 + 1/2 mv^2 ~ mc^2 = hν
従って、
p = h / λ = hν / v = mc^2 / v ??
これも運動量の定義と矛盾します。

つまり、電子のように遅い粒子では、E = hν と p = h / λを同時に満たすことができないように思えるのです。

数多くある量子力学の本でも逃げている部分であり、難解な質問かとは思いますが、ご存知の方がいらっしゃればご回答お願いします。

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレ...続きを読む

Aベストアンサー

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
 電子を波と考えたときの現実的な波の速さは、群速度により表されます。群速度Vgは、角速度ωを波数ベクトルの大きさkで微分したものです。つまり、Vg=dω/dk となります。エネルギーと運動量は、ωとkを使うと、E=h'ω、p=h'k となりますから(h'=h/2π)、Vg=dE/dp となります。非相対性理論の範囲では、E=p^2/2m ですから、Vg=vとなります。相対性理論の範囲では、E^2=p^2c^2+m^2c^4ですから、これもVg=vとなります。

 それでは、質問者様の質問に回答します。
1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

 電子のエネルギーは、静止質量エネルギーを含んだものです。シュレーディンガー方程式のエネルギーは、ご指摘のとおり、静止質量エネルギーは含んでおりません。このため、相対論的量子力学で扱うエネルギーとシュレーディンガー方程式で扱うエネルギーとでは、静止質量エネルギーの分だけ違いがあるということになります。これは(ディラックによれば)、物理的に影響のない項目です。なぜなら、ハミルトニアンは、実の定数分の不定さがあるからです。

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?
 
 既に上で述べたように、λν=v ではなく、E=hν と p=h/λから位相速度が決まります。ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのか、については、ド・ブロイ自身の論文は見ていませんが、ディラックによれば、相対論的に不変な性質から出発してこの考えに至ったようです。つまり、エネルギーと運動量は4次元ベクトル(E/c,p1,p2,p3)を成します。波数ベクトルについても、(ω/c,k1,k2,k3)は4次元ベクトルとなります。どちらも4次元ベクトルであることから、エネルギー運動量を波で表すということは、光だけに限定されるものではなく、ほかの物質であっても成り立つものと考えた訳です。

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
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Q物理の近似がわかりません。

物理の近似がわかりません。
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詳しい式変型と説明をお願いします。

Aベストアンサー

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ...
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これに x = s/z を代入

Q誘電率の周波数依存性

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という現象はありますか?
また、それに関する情報を教えていただけたら幸いです!

Aベストアンサー

あります。

http://hr-inoue.net/zscience/topics/dielectric1/dielectric1.html

Q逆方向飽和電流の求め方に関する質問です。

物理実験でどうしてもわからないことがあるので質問させていただきます。

半導体ダイオードの特性を測定する実験なのですが、その課題の部分で逆方向飽和電流をグラフ化して求めるというものがありました。その求め方で順方向特性で求める方法と逆方向特性で求める方法、さらにV=0のときの抵抗値から求める方法があったのですが、求めた逆方向飽和電流がそれぞれ違う値となるのです。その結果は順方向特性が5.75(mA),逆方向特性が1.31(μA),V=0のときの抵抗値から求めたものが1.62(μA)となりました。後の2つは求め方の性質上の誤差で済ませられる範囲だとは思うのですが、順方向特性と後の2つとは誤差と言えないほどかけはなれています。これはどういうことなのでしょうか?

求め方
順方向特性
logI=logIo+qV/2.3kT
Io:逆方向飽和電流,q:電子の電荷,k:ボルツマン定数,T:絶対温度
x軸に電圧Vをとり、y軸に電流の常用対数logIをとったグラフを作り、直線部分を延長してそのY切片がIoである。

逆方向特性
逆方向の-1VまでのV-I特性をグラフ化して、直線部分を伸ばしてY軸(電流軸)との交点がIoである。

V=0のときの抵抗値から
x軸に電圧Vをとり、y軸に抵抗の常用対数logRをとったグラフを-0.5Vから0.5Vまで作り、真ん中を内挿してV=0のときのRをもとめ、Io=kT/qR(V=0)に代入して求める。

ということらしいのです。直線部分を伸ばしたり、真ん中の部分を勝手に想像して埋めたりなど結構あいまいな求め方なので少しくらいのずれならわかるのですが、1000倍もずれるとなると無視できないので質問しました。実験方法自体のミスの可能性もあるので、もしこんなことは起こらないのならそれを指摘してくださってもうれしいです。

よろしくお願いします。

物理実験でどうしてもわからないことがあるので質問させていただきます。

半導体ダイオードの特性を測定する実験なのですが、その課題の部分で逆方向飽和電流をグラフ化して求めるというものがありました。その求め方で順方向特性で求める方法と逆方向特性で求める方法、さらにV=0のときの抵抗値から求める方法があったのですが、求めた逆方向飽和電流がそれぞれ違う値となるのです。その結果は順方向特性が5.75(mA),逆方向特性が1.31(μA),V=0のときの抵抗値から求めたものが1.62(μA)となりました。後の2つは...続きを読む

Aベストアンサー

実際の測定結果を見ないと何とも言えませんが、
・測定結果
・log(I)=log(5.75)+qV/2.3kT
・log(I)=log(5.75(exp(qV/2.3kT)-1))
等を(片対数)グラフに重ね描きして考えてみてはいかがでしょうか?
(エクセル等が使えればすぐ描けますよね。)
更に、log(1.5e-3) あたりをY切片として、測定結果の曲線に向けて接線を描いてみたりすると他に直線的な部分が見えてきませんでしょうか?
抵抗分が効いている部分からloを求めていると、loをオーバーエスティメイトしがちです。

QExcelで平方2乗平均を計算するには

Excel2003で
平方2乗平均を計算するにはどうしたら良いのでしょうか?
手っ取り早い方法を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

訂正。

誤:平方2乗平均は、各要素を2乗した物の和の平方根です。
正:平方2乗平均は、各要素を2乗した物の和を要素数で割った物の平方根です。

従って、A1~A30の30個のセルの平方2乗平均は以下の式で求めます。
=SQRT(SUMSQ(A1:A30)/COUNT(A1:A30))

平方和を要素数で割るのを忘れてました。


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