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tanh(x)がx>>1のときの近似式

tanh(x)がx>>1のとき以下の近似式が成り立つそうなのですが、
どうしてこういう近似式が成り立つのかわかりません。
どなたか教えていただけると助かります。

tanh(x)≒1-2*exp(-2x)

A 回答 (2件)

tanh(x) = ( e^x - 1/e^x )/( e^x + 1/e^x ) = { e^x - e^(-x) }/{ e^x + e^(-x) }


というのは分かりますね。

この右辺の分子と分母を e^x (≠0)で割って式を書き直すと
   tanh(x) = { 1 - e^(-2*x) }/{ 1 + e^(-2*x) } --- (1)
となります。ここで、x >> 1 のとき
   0 < e^(-2*x) << e^(-2*1) = 0.135 < 1
なので 0 < e^(-2*x) << 1 ということになります。つまり、x >> 1 のときは、e^(-2*x) は 0 に非常に近い値になります。

式(1)の e^(-2*x) を X と置き換えたときの式
   tanh(x) = ( 1 - X )/( 1 + X )
を X = 0 の周りで テイラー展開すれば
   tanh(x) = 1 - 2*X + 2*X^2 - 2*X^3 + ・・・
となりますが、X は 0 に近い値なので、X の高次の項はほとんど 0 として無視すれば
   tanh(x) ≒ 1 - 2*X  
と近似できます。これに X = e^(-2*x) を代入すれば
   tanh(x) ≒ 1 - 2*e^(-2*x)
となります。

添付図は y = tanh(x) と y = 1 - 2*e^(-2*x) のグラフですが、 2 < x ではその近似が成り立っていることが分かります。
「tanh(x)がx>>1のときの近似式」の回答画像2
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

親切丁寧な解説、とても理解しやすいものでした。
僕の数学アレルギーに一石を投じてくださいました。

お礼日時:2010/07/01 22:15

tanh(x)の定義式から出てきます。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

tanh(x)の定義式はわかっていましたが、
どう近似するのかがわかりませんでした。

お礼日時:2010/07/01 22:16

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