二次関数の平行移動

二次関数の平行移動

理解できないところがたくさんあります。
ほとんど教科書丸写しなのですが

二次関数 F…y=x^2 を
x軸方向にp,
y軸方向にq だけ平行移動して
得られる二次関数G上に任意の点P(x,y)をとり、
平行移動前のF上の点Qを(X,Y)とすると
x=X+p , y=Y+q
→ X=x-p , Y=y-q よって
点Q(x-p,y-q)で表される。
これをFの式に代入して
y-p=(x-p)^2 　→ y=(x-p)^2+q
これはGの式である。

-----------------------------------

(1)なぜ元の二次関数Fの点ではなく
動いた後の二次関数Gの点を(x,y)と基準?としているのかがわかりません。
「そうすると説明が上手くいくから」でしょうか?
平行移動する前を基準として考えれば
平行移動後が(x+p,y+q)になるじゃん!と思ってしまいます…;;

(2)F上の点Qの座標をFの式に代入した式なのに
なぜGの式になるのかがわかりません。

あと……
任意という言葉の意味がいまいちわかりません。
その言葉の効果はどこで現れますか??

いってることが全ておかしかったらすみません。
理解力がほとんどありません。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2010/08/10 18:07

これは私の個人的なイメージですが…

F上の点を(X,Y)、G上の点を(x,y)とすると、
x=X+p,y=Y+q
であることは間違いない。で、
「
xとyがどんな関係にあるのかはわからないけど、
XとYがF上にあることは確かなので、Y=X^2…(＊)が
成り立つのは間違いない。
」
ということは、今はどちらかというとx=、y=という式よりも
X=、Y=という形の式があった方がうれしい((＊)に代入できるから)
ということでX=x-p、Y=y-qとして(＊)に代入すると
xとyの関係(つまり、G)が求められる。

この考え方の肝は「」の部分です。今回のような平行移動ぐらいならこんなことしなくても
Gは明らかにわかるのでかえって話をややこしくしているように見えますが、
もっと複雑な移動(直線に対して対称移動とか、回転とか、F上の点と定点の中点を取るとか)
をする時にこのように考えてやるとイメージしやすいような…
少なくとも私はイメージしやすいです。

以上、参考になれば幸いです。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/10 20:37

F上の点を基準にするとか、

G上の点を基準にするとか
考えるから、話がオカシクなるのです。
FとGを対等に扱って、
F上の点を(s,t)、G上の点を(u,v)と置きましょう。
(s,t)はF上の点ですから、t=s↑2 が成り立ちます。
平行移動について、
s+p=u、t+q=v は良いですね？
あとは、式を整理して、
v=g(u) となる関数 g
を見つけるだけです。

最後に g を y=g(x) の形で書き表すという
慣習に惑わされて、(s,t)か(u,v)のどちらかを
最初から(x,y)で書こうとするから、
どちらか基準？とか、問題の内容に関係のない
疑問が涌いてしまうのです。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2010/08/10 18:18

こんにちは。

＞＞＞いってることが全ておかしかったらすみません。
＞＞＞理解力がほとんどありません。

おかしくないです。
ちゃんと理解しようとする人がおちいるワナの典型な例です。

＞＞＞
(1)なぜ元の二次関数Fの点ではなく
動いた後の二次関数Gの点を(x,y)と基準?としているのかがわかりません。
「そうすると説明が上手くいくから」でしょうか?

はい。説明がうまくいくようにしたからなのですが、
かえってわかりにくい説明になってしまっています。
あなたがわからないのも、いたって自然。


＞＞＞
平行移動する前を基準として考えれば
平行移動後が(x+p,y+q)になるじゃん!と思ってしまいます…;;

はい。ここがポイントですね。
ｙ　＝　ｘ^2
を、ｙ方向に３　だけ平行移動すると、
ｙ－３　＝　ｘ^2
になります。
なぜかと言えば、
ｙ座標に－３というハンディを課せられたのに、なおかつ　ｙ＝ｘ^2　のｙと同じ大きさになるということは、
あらかじめｙの値が３だけ大きくなっていなければいけないからです。←重要
そして、３だけ大きいということは、３だけ上に平行移動したということです。

次に、
ｙ　＝　ｘ^2
を、ｘ方向に２だけ平行移動すると、
ｙ　＝　（ｘ－２）^2
になります。
なぜかと言えば、
ｘ座標に－２というハンディを課せられたのに、なおかつ　ｙ＝ｘ^2　のｘと同じ大きさになるということは、
あらかじめｘの値が２だけ大きくなっていなければいけないからです。←重要
そして、２だけ大きいということは、２だけ右に平行移動したということです。

以上を合わせて、ｙ＝ｘ^2　を　ｘ方向に２、ｙ方向に３　だけ平行移動するということは、
ｘ方向に－２のハンディーを負わせ、ｙ方向に－３のハンディーを負わせても、なおかつ、ｙ＝ｘ^2　のｘ、ｙと同じ値になる、つまり、ｘ値、ｙ値に２，３の余裕がある（大きい）ということなので、
ｙ－３　＝　（ｘ－２）^2

＞＞＞
(2)F上の点Qの座標をFの式に代入した式なのに
なぜGの式になるのかがわかりません。

上の理屈を言い換えただけです。

＞＞＞
あと……
任意という言葉の意味がいまいちわかりません。
その言葉の効果はどこで現れますか??

二次関数のグラフは、（一次関数もですが）、線ですよね？
線というのは、言い換えれば、点の集まりです。
色んな点の集まりです。
「（曲線上の）色んな点のどれでもよい」＝「（曲線上の）任意の点」

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/10 17:26

座標を取ってy=x^2 、y=(x-p)^2+q、y=(x+p)^2-q

を描いてみればわかります。

＞任意という言葉の意味

任意の点P(x,y)について成り立つことは
どんなP(x,y)についても成り立つというイメージです。
任意の点P(x,y)を繰り返せばすべての点に通じます。
特定の1個の点とは正反対のイメージです。

この回答へのお礼

紙に描いてみました。
イメージがわいてきました!
ありがとうございました。
「任意」もすっきりです。

お礼日時：2010/08/10 21:34