１次分数関数の問題です。 ご教授お願い致します。 １次分数関数である ｗ＝（ーｚ＋２ーｉ）／（（−２

１次分数関数の問題です。

ご教授お願い致します。


１次分数関数である
ｗ＝（ーｚ＋２ーｉ）／（（−２＋３ｉ）ｚー２ｉ）という式を
平行移動、回転または伸縮、反形
で構成されていることがわかるように分解
しなさい。

という問題です。

元の１次分数関数があって、
それを上記の３つを行って、ｗ＝（ーｚ・・・
という式になるようにすればよいのでしょうか？

その途中式を教えていただければと思います。

質問者からの補足コメント

• 反形というのはおそらく反転の意味だと思います。

    補足日時：2023/07/23 19:31

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 21:08

w=(-z+2-i)/{(-2+3i)z-2i}

w=(-2-3i)(-z+2-i)/{13z-2i(-2-3i)}
w=(2+3i)(13z-26+13i)/{13(13z+4i-6)}
w={(2+3i)/13}(13z+4i-6+9i-20)/(13z+4i-6)}

w={(2+3i)/13}{1+(9i-20)/(13z+4i-6)}

z1=f1(z)=13z
z2=f2(z1)=z1+4i-6
z3=f3(z2)=1/z2
z4=f4(z3)=(9i-20)z3
z5=f5(z4)=z4+1
w=f6(z5)={(2+3i)/13}z5

とすると

w=f6(f5(f4(f3(f2(f1(z))))))

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/23 18:17

「反形」が何のことかはっきりしません。

が、ともかく

> よいのでしょうか？

違います。相似変換wを平行移動、回転、伸縮、反形の合成に分解しろということです。もちろん、逆にやっても構いません。すなわち、恒等写像から始めて、平行移動、回転、伸縮、反形を組み合わせてwを構成するのでも良い。

　平行移動は複素数の足し算、回転と拡大縮小は複素数を掛け算するだけ。直線に対する鏡映変換（反転）は
　　Az* + B （z*はzの共役複素数）
の形であり、円（中心a, 半径R）に対する鏡映変換（反転）は　
　　(R^2)/(z* - a*) + a
です。だからこれらの合成は一次式同士の割り算の形に表せる。そして、一次式同士の割り算をいくつ合成しても一次式同士の割り算の形になる。それらをメビウス変換と呼び、つまりご質問のwもメビウス変換の一例です。
　ところで、直線に対する鏡映変換（反転）を2つ合成すると、平行移動や回転を表せる。円に対する鏡映変換（反転）を2つ合成すると、拡大縮小が表せる。つまり、ここまでに出てきたどの変換も、直線か円に対する反転の合成だけで表せる。

　わからんのは「反形」なる用語です。いや、聞いたことないなあ。どういう定義なんでしょうかね。もし「反形」が反転と同義であるなら、上記のように、平行移動だの回転だの伸縮だのは（反転で表せるんで）話に出てくる余地がなさそうです。