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カテナリー曲線の長さの求め方について

締切済

  • 質問者：Lef_
  • 質問日時：
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カテナリー曲線の長さの求め方について
検索すると、カテナリー曲線の式は一般的に
　y=(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))
と表されているようですが、
　y=a(e^(x/a)+e^(-x/a))
という式を「カテナリー曲線」として与えられ、弧の長さ（0≦x≦x_1）を求めよという問題があり困っています。
前者の式だと　∫√(1-(dy/dx)^2)dx　の√がうまい具合に外せるようですが、この式ではそううまくはいきません。

身近な精通している人に尋ねたところ、双曲線関数やマクローリン展開や漸化式を持ち出して奮闘した挙句、Σを含んだ複雑な式を示されたのですが
これほど難解な問題を出すとも思えないので、私としては先生の出題ミスではないかとさえ思っています・・・

この問題をスマートに解く方法は存在するのでしょうか？

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A 回答 (1件)

No.1

出題ミスかどうか、確認してみればいいのでは？

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この回答へのお礼

まぁ、確かにそれはそうなのですが...

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お礼日時：2010/08/09 09:19

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どなたかご教授下さい。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

懸垂線は、双曲線関数cosh(x)=(e^x + e^(-x))/2を用いて
y=a cosh(x/a)
と表せます。aは垂れ具合で決まる正の定数です。
両端の距離をbとすると、ヒモの長さは
s=∫[-b/2, b/2]√(1+(dy/dx)^2)dx
=∫√(1+(sinh(x/a))^2)dx
=∫√(cosh(x/a)^2)dx
=∫cosh(x/a)dx
=2a sinh(b/(2a))
と、簡単な形になります。
垂れる深さをＤとすると,
D=y(b/2)-y(0)=a cosh(b/(2a)) -a
と表せるので、これを満たすようにaを定めることになります。このaをDの式で表すのは難しいので、エクセルなら、ゴールシークで計算すればよいでしょう。coshも、sinhもエクセル関数にあります。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%87%B8%E5%9E%82%E7%B7%9A

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Aベストアンサー

S(x) = √( (f(x+dx) - f(x))^2 + dx^2 )
とおいて（要するに微少部分について三平方の定理）、

int step = 10000;
double dx = (X2 - X1)/step;
double sum = .0;

for( double x=X1; x<=X2; x+=dx ) {
sum += S(x);
}

のような感じで求める数値積分ができます。
（C Styleで書いてしまいましたが、まあわかりますよね。）

一般にはstepの数を大きくすると精度が上がりますが、計算機特有の誤差の問題がいろいろあるので、気をつけないと結構な誤差がたまります（これは解析的に解いた式を計算機に計算させても同様ですが）。
この辺りは経験をつむしかないので、計算機関係の本を読みながら試してみて下さい。

例えば、パラメータや積分範囲にもよるので簡単には言えませんが、
double f( double X ) {
return a*X*X*X + b*X*X + c*X + d;
}

よりも、

double f( double X ) {
return ((a*X + b)*X + c)*X + d;
}
とかにした方がいいかも。
まあ、いろいろ試して精度のいい方法を使えばOKです。

S(x) = √( (f(x+dx) - f(x))^2 + dx^2 )
とおいて（要するに微少部分について三平方の定理）、

int step = 10000;
double dx = (X2 - X1)/step;
double sum = .0;

for( double x=X1; x<=X2; x+=dx ) {
sum += S(x);
}

のような感じで求める数値積分ができます。
（C Styleで書いてしまいましたが、まあわかりますよね。）

一般にはstepの数を大きくすると精度が上がりますが、計算機特有の誤差の問題がいろいろあるので、気をつけないと結構な誤差がたまります（これは解析的に解いた式を計算...続きを読む

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こんにちは。

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＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

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４０ｋｇｆ　＝　４０ｋｇ×重力加速度
　＝　４０ｋｇ×９．８ｍ／ｓ^2
　＝　だいたい４００Ｎ

あるいは、
１０２グラム（０．１０２ｋｇ）の物体にかかる重力が１Ｎなので、
４０ｋｇ　÷　０．１０２ｋｇ／Ｎ　＝　だいたい４００Ｎ


＞＞＞1N＝9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか？

いえ。
１ｋｇｆ　＝　９．８Ｎ
ですね。


＞＞＞一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、４００Ｎを断面積で割るだけです。
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１Ｎ／ｍ^2 の応力、圧力を１Ｐａ（パスカル）と言いますから、
１０^7　Ｐａ　（１千万パスカル）　ですね。

こんにちは。

ｋｇｆはＳＩ単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

４０ｋｇのおもりなので、「おもりにかかる重力」は４０ｋｇ...続きを読む

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