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カテナリー曲線の長さの求め方について
検索すると、カテナリー曲線の式は一般的に
 y=(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))
と表されているようですが、
 y=a(e^(x/a)+e^(-x/a))
という式を「カテナリー曲線」として与えられ、弧の長さ(0≦x≦x_1)を求めよという問題があり困っています。
前者の式だと ∫√(1-(dy/dx)^2)dx の√がうまい具合に外せるようですが、この式ではそううまくはいきません。

身近な精通している人に尋ねたところ、双曲線関数やマクローリン展開や漸化式を持ち出して奮闘した挙句、Σを含んだ複雑な式を示されたのですが
これほど難解な問題を出すとも思えないので、私としては先生の出題ミスではないかとさえ思っています・・・

この問題をスマートに解く方法は存在するのでしょうか?

A 回答 (1件)

出題ミスかどうか、確認してみればいいのでは?

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    • 1
この回答へのお礼

まぁ、確かにそれはそうなのですが...

お礼日時:2010/08/09 09:19

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Q懸垂線の長さを求めたいです

ヒモを両端から垂らした曲線、懸垂線の長さを求めたいです。

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Excelにて、A,B間の距離と垂れる深さを入力→ヒモがどれだけの長さになるのか、といった物を作りたいのです。

どなたかご教授下さい。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

懸垂線は、双曲線関数cosh(x)=(e^x + e^(-x))/2を用いて
y=a cosh(x/a)
と表せます。aは垂れ具合で決まる正の定数です。
両端の距離をbとすると、ヒモの長さは
s=∫[-b/2, b/2]√(1+(dy/dx)^2)dx
=∫√(1+(sinh(x/a))^2)dx
=∫√(cosh(x/a)^2)dx
=∫cosh(x/a)dx
=2a sinh(b/(2a))
と、簡単な形になります。
垂れる深さをDとすると,
D=y(b/2)-y(0)=a cosh(b/(2a)) -a
と表せるので、これを満たすようにaを定めることになります。このaをDの式で表すのは難しいので、エクセルなら、ゴールシークで計算すればよいでしょう。coshも、sinhもエクセル関数にあります。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%87%B8%E5%9E%82%E7%B7%9A

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生産設計のプログラムで必要になりました。30年ぶりに、数学の教科書を開きましたが、全く理解できません。宜しくお願いします。一筋縄でいかないようですが?
近似式でもかまわないのですが。

Aベストアンサー

S(x) = √( (f(x+dx) - f(x))^2 + dx^2 )
とおいて(要するに微少部分について三平方の定理)、

int step = 10000;
double dx = (X2 - X1)/step;
double sum = .0;

for( double x=X1; x<=X2; x+=dx ) {
sum += S(x);
}

のような感じで求める数値積分ができます。
(C Styleで書いてしまいましたが、まあわかりますよね。)

一般にはstepの数を大きくすると精度が上がりますが、計算機特有の誤差の問題がいろいろあるので、気をつけないと結構な誤差がたまります(これは解析的に解いた式を計算機に計算させても同様ですが)。
この辺りは経験をつむしかないので、計算機関係の本を読みながら試してみて下さい。

例えば、パラメータや積分範囲にもよるので簡単には言えませんが、
double f( double X ) {
return a*X*X*X + b*X*X + c*X + d;
}

よりも、

double f( double X ) {
return ((a*X + b)*X + c)*X + d;
}
とかにした方がいいかも。
まあ、いろいろ試して精度のいい方法を使えばOKです。

S(x) = √( (f(x+dx) - f(x))^2 + dx^2 )
とおいて(要するに微少部分について三平方の定理)、

int step = 10000;
double dx = (X2 - X1)/step;
double sum = .0;

for( double x=X1; x<=X2; x+=dx ) {
sum += S(x);
}

のような感じで求める数値積分ができます。
(C Styleで書いてしまいましたが、まあわかりますよね。)

一般にはstepの数を大きくすると精度が上がりますが、計算機特有の誤差の問題がいろいろあるので、気をつけないと結構な誤差がたまります(これは解析的に解いた式を計算...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

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ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む


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