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高校1年生の者です。明日テストなのですが、
どうしても解けない問題があり、とても焦っています;

二項定理で
nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)=nC1+nC3+・・・・+nCn=2^(n-1)
を証明せよ。(ただしnは奇数とする。)
という問題です。(見にくくてすみません)

解説を読んだのですが全く解りません・・・;

nC0×2^n-nC1×2^(n-1)+nC2×2^(n-2)-・・・+(-1)^n×nCn=1
という問題は解くことができます。

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また、違う問題でもう1問解らないものがあります。
(2つ質問することは駄目ですよね・・・;
ご説明してくださる場合は片方だけで結構です;)

11^100-1の末尾に並ぶ0の個数を求めよ。
という問題です。

11^100を(10+1)^100にして考えるところまではいったのですが、
その後どうしてよいかわかりません;
普通に計算していくのは大変ですよね。
どうやって考えればよいのでしょうか。



焦っていて至らない場所があるかもしれません;
すみません。
もし宜しければご説明お願い致します。

gooドクター

A 回答 (5件)

(1-1)^n=0 だから、


nC0(1)^n*(-1)^0 +nC1(1)^(n-1)*(-1)^1+・・・+nCn(1)^0*(-1)^n=0
nが奇数だから
nC0-nC1+nC2-・・・-nCn=0
移項して最初の等式がでて、
(1+1)^n=nC0+nC1+・・・+nCn=(nC0+・・・nCn-1)+(nC1+・・・+nCn)=2^n
だから、
( )=2^n/2=2^(n-1)
となります。

11^100=(10+1)^100=100C0+100C1*10+100C2*10^2+100C3*10^3+
・・・+100C100*10^100
=1+1000+495000+50*33*98*1000+・・・
となって、・・・より後の項は、10000より大きい。
とるすと、***6000 となって、0は3つ並ぶ。
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この回答へのお礼

丁寧にご説明してくださり、
ありがとうございました。
なんとなく理解できました。
数学はやっぱり苦手です;
難しいですね・・・。

お礼日時:2007/12/01 21:03

正攻法じゃないと思いますが・・・


nCk=nC(n-k)・・・(1)
(1)より(nは奇数なので)真ん中と左の式は同値です
右の式、2のn-1乗は、2分の2をかけて2^n/2とします
2^n=(1+1)^n=nC0*1^0*1^n+nC1*1^1*1^(n-1)+……+nCn*1^n*1^0
となります
1の累乗は無視していいので、
2^n/2=(nC0+nC1+……+nCn)/2 です
(1)よりnCkのkが奇数か偶数、どちらかを全て消せる(÷2)ので、真ん中又は左の式と同値になります
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この回答へのお礼

ご説明ありがとうございました。
色々な考え方があるのですね。
もっと頭を柔らかくしなくては・・・。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/12/01 21:09

#2です。


後半を後からと書きましたが
後半は#1さんが正しい解答を提示済みですので
回答を省略させていただきます。
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(a+b)^nを二項定理を使って展開する。


(a+b)^n=nC0a^nb^0+nC1a^(n-1)b+・・・+nCna^0b^n
a=-1 ,b=1 を代入する。
負の項を全部移項する。
次にa=1 ,b=1 を代入する。
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この回答へのお礼

アドバイスしてくださり、
ありがとうございました。
やはり数学は苦手で・・・
途中までは解くことができました。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/12/01 21:08

>nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)=nC1+nC3+・・・・+nCn=2^(n-1)


(x+y)^n=Σ[k=0,n] nCk*(x^k)*(y^(n-k))…(1)
(1)でx=y=1とおくと
2^n=A+B …(2)
ここで
A=nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)
B=nC1+nC3+・・・・+nCn

また(1)でx=1,y=-1とおけば
0=A-B …(3)
(2)と(3)から
証明するAとBの式が出てきます。

後半は後で
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この回答へのお礼

細かく説明してくださり、
ありがとうございました。
Σはまだ習っていないので
私の頭ではよく解らないのですが、
考え方がわかった気がします。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/12/01 21:06

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