二項定理 等式の証明 数学

問題(2) 真ん中の問題です。

X=1を代入
2^n=・・・・nCn ①

X=ー1を代入
0=・・・－nCn ②


①+②をすると、
2^n=2（・・・・nCn-1）

①ー②
0=2（・・・・+nCn）

とありますが、この形にする計算のやり方がわかりません。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/08 11:56

すみません①+②と①-②のところ訂正します。

(1+x)^n=nC0*x^0+nC1*x^1+nC2*x^2+・・・＋nCn-1*x^(n-1)+nCn*x^n
x=1とすれば
(1+1)^n=nC0*1^0+nC1*1^1+nC2*1^2+・・・＋nCn-1*1^(n-1)+nCn*1^n
⇔2^n=nC0+nC1+nC2+・・・＋nCn-1+nCn・・・①

x=-1とすれば
(1-1)^n=nC0*(-1)^0+nC1*(-1)^1+nC2*(-1)^2+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n
⇔0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n・・・A


①はnが偶数奇数の影響は受けないがAには影響がある(それは*(-1)^nが＋１になるか―1になるかの違いです）
★nが奇数のときAは
0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*1+nCn*(-1)＜nが奇数のとき(-1)^(n-1)=+1,(-1)^n=-1>
⇔0=nC0ｰnC1+nC2-nC3+・-・+・・・＋nCn-1ｰnCn・・・②

①+②をすると②右辺は+と-の項が交互にあるから、＋の項は2倍にーの項は打ち消されて無くなる。
→2^n=2nC0+2nC2+2nC4・・・＋2nCn-1
①-②では逆に①と②で同符号の項が消えるので
2^n=2nC1+2nC3+2nC5・・・＋2nCn-2+2nCn


★nが偶数のときAは上とは逆で(-1)^(n-1)=-1,(-1)^n=+1だから
0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n
=nC0ｰnC1+nC2-nC3+・-・・・-nCn-1+nCn
これを利用すれば前述の要領で2つの式を加えたものと、片方からもう一方を引いたもを求められる!^^

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/08 11:53

(1+x)^n=nC0*x^0+nC1*x^1+nC2*x^2+・・・＋nCn-1*x^(n-1)+nCn*x^n

x=1とすれば
(1+1)^n=nC0*1^0+nC1*1^1+nC2*1^2+・・・＋nCn-1*1^(n-1)+nCn*1^n
⇔2^n=nC0+nC1+nC2+・・・＋nCn-1+nCn・・・①

x=-1とすれば
(1-1)^n=nC0*(-1)^0+nC1*(-1)^1+nC2*(-1)^2+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n
⇔0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n・・・A


①はnが偶数奇数の影響は受けないがAには影響がある(それは*(-1)^nが＋１になるか―1になるかの違いです）
★nが奇数のときAは
0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*1+nCn*(-1)＜nが奇数のとき(-1)^(n-1)=+1,(-1)^n=-1>
⇔0=nC0ｰnC1+nC2-nC3+・-・+・・・＋nCn-1ｰnCn・・・②

①+②をすると②右辺は+と-の項が交互にあるから、＋の項は2倍にーの項は打ち消されて無くなる。
→2^n=nC0+nC2+nC4・・・＋nCn-1
①-②では逆に①と②で同符号の項が消えるので
2^n=nC1+nC3+nC5・・・＋nCn-2+nCn


★nが偶数のときAは上とは逆で(-1)^(n-1)=-1,(-1)^n=+1だから
0=nC0*1+nC1*(-1)+nC2*1+・・・＋nCn-1*(-1)^(n-1)+nCn*(-1)^n
=nC0ｰnC1+nC2-nC3+・-・・・-nCn-1+nCn
これを利用すれば前述の要領で2つの式を加えたものと、片方からもう一方を引いたもを求められる!^^

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/06/08 10:19

n にしているからかね？

一度、n ＝５とか小さい数字にしてみたら、どうかね？