数列½—、¹∕₃、²/₃、¼、4／2、¾、1/5、５/2、5/3、5/4、、、、において、初項から第

数列½—、¹∕₃、²/₃、¼、4／2、¾、1/5、５/2、5/3、5/4、、、、において、初項から第200項までの和を求めよ。という問題について質問です。(このひとつ前の問題で、第200項は10/21と分かっている上で)なぜ、赤線を引いてる2つの式のうちの上の式の最後で(20-1)をしているのでしょうか。また、なぜ½—(1＋2＋、、、)＋1/21(1＋2＋、、、＋10)のように式をふたつに分けているのでしょうか。普通に½—×200をしてはいけないのか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2023/02/26 22:21

初項から第200項までの和を求める問題ですが、

分母が同じ項ごとにそれぞれ和を求めます。

1/2
1/3+2/3=(1/3)(1+2)
1/4+2/4+3/4=(1/4)(1+2+3)
1/5+2/5+3/5+4/5=(1/5)(1+2+3+4)
・・・
1/20+2/20+…+19/20=(1/20)(1+2+…+19)
1/21+2/21+…+10/21=(1/21)(1+2+…+10)

最後の行の式以外は、分子の数が分母の数より1小さい数になるまでの
和になっているので、解説の最初の公式が使えます。
{1/(n+1)}(1+2+3+…+n)=(1/2)n

式の1行目は n=1 のときなので、(1/2)1
式の2行目は n=2 のときなので、(1/2)2
式の3行目は n=3 のときなので、(1/2)3
式の4行目は n=4 のときなので、(1/2)4
・・・
式の最後から2行目はn=19 のときなので、(1/2)19

最後の行の式は分子が10までの和なので、この公式は使えません。

赤線の引いてある式の1つ目は公式が使える部分の和
(1/2)1+(1/2)2+(1/2)3++…+(1/2)19=(1/2)(1+2+3+…+19)
赤線の引いてある式の２つ目は公式が使えない最後の行
(1/21)(1+2+…+10)

解説の公式が使えるところと使えないところでふたつに分けて
初項から第200項までの和を求めています。