階差数列の問題で、n=1にときに成り立たない問題を見たことありますか？

階差数列の問題で、n=1にときに成り立たない問題を見たことありますか？
階差数列はnが2以上の時の式を導き、n=1の時も確認しますが、ここでn=1の時にはnが2以上の時の式で説明できないような問題は存在しますか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/22 17:40

判定法：

階差数列を和分して得られた n ≧ 2 での一般項の式 S(n) が
n = 0 を代入して S(0) = 0 なら、 S(1) は n ≧ 2 の S(n) と同じ式で表せる。
S(0) ≠ 0 であれば同じ式では表せず、n = 1 を場合分けする必要がある。

S(1) = a(1) が成り立っているかを確かめる手間と同じだから、意味無いか...
テストとかでちょっと便利なんだけど。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/22 09:49

どんなデタラメな超適当な数列でも、隣同士を引き算して出来た数列を階差数列という。

階差数列と言う言葉には、等差とか等比の意味は含んでないよ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/22 05:24

数列

{a(n)}
の階差数列を
{b(n)}
とすると

b(n)=a(n+1)-a(n)

Σ_{k=1～n}b(k)=Σ_{k=1～n}{a(k+1)-a(k)}=a(n+1)-a(1)

n≧1のとき
a(n+1)=a(1)+Σ_{k=1～n}b(k)
だから
n≧2のとき
a(n)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}b(k)

n=1のとき
a(n)=a(1)=a(1)+Σ_{k=1～0}b(k)
だから

n≧1のとき
a(n)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}b(k)

No.1 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/21 23:12

階差数列の一般項がk=1（元の数列で言えばn=2)でも

きちんと成り立つならn=1のときにも当てはまるはずですね。
だからないと言えると思います。
（ただし、階差数列でなければn=1だけ違う場合はあります）

だからといって階差数列を利用して元の数列の一般項を
求めるときにｎ≧2としなかったりn=1での確認を
しないのは誤りです。
階差数列を用いて元の数列を求めるあの式はn=1では
意味をなさないからです。