（2）で階差型とかいてあるのですが、階差数列では必ずk=1～n-1なると思ってるのですが、この問題で

（2）で階差型とかいてあるのですが、階差数列では必ずk=1～n-1なると思ってるのですが、この問題ではΣ（k=1～n）になってます。
なぜですか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/06 21:06

a(2n+1)=a(1)+Σ_{k=1～n}{a(2k+1)-a(2k-1)}

の左辺が
a(2n+1)だからk=1～nになるのです

これをk=1～n-1にしたければ、

a(2n+1)=a(1)+Σ_{k=1～n}{a(2k+1)-a(2k-1)}

のnをn-1に置き換えれば

a(2(n-1)+1)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}{a(2k+1)-a(2k-1)}

↓2(n-1)+1=2n-1だから

a(2n-1)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}{a(2k+1)-a(2k-1)}

となります

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/04 22:03

a(2n+1)=a(2n-1)+4(n^2+n+1)

で
n=1とすると

a(3)=a(1)+12
--------------
a(2n+1)=a(1)+Σ_{k=1～n}{a(2k+1)-a(2k-1)}
で
n=1とすると

a(3)=a(1)+a(3)-a(1)

nをn-1と仮定し

a(2n+1)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}{a(2k+1)-a(2k-1)}
で
n=1とすると

a(3)=a(1)+Σ_{k=1～0}{a(2k+1)-a(2k-1)}
↓Σ_{k=1～0}{a(2k+1)-a(2k-1)}=0だから

a(3)=a(1)
となって

a(3)=a(1)+12に矛盾するから

k=1～n-1なるのは間違いです

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/03 22:19

「階差数列では必ずk=1～n-1なる」という意味が不明ですが、写真

の言うところは
　a₁+(a₂-a₁)+・・・+(a[2n+1]-a[2n-1])・・・①
が
　a₁+Σ[k=1,n] (a[kn+1]-a[2k-1])
となる、と言っているだけです。

Σの中で　k=1～n　を入れれば①になることは自明ですが？