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(1+x+x2乗)7乗の展開式における、x3乗の項の係数をCつかて求める時、なぜ式は②の式ではなく①の式となるのでしょうか?

「(1+x+x2乗)7乗の展開式における、」の質問画像
gooドクター

A 回答 (7件)

7!/5!をCつかて表すと、7!/5!=7!/(5!*2!)*2!/(1!*1!)=₇C₅*₂C₁


となって、②が正しい。
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No.3が正解。


彼は①も②も違うと言っているようだが、
No.3の答えは結果的に②と一致している。
これと係数の異なる①は、もちろん間違い。

二項定理を拡張した「多項定理」は、
けっこう有名だし、役に立つ場面も多いから、
この機会に勉強しておいたらどうか。
google すれば、解説はたくさん見つかる。
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No.2へのコメントについて。



> 答えに①の式が書いてあったので

 単に、その「答え」は間違っている、ということです。ご自分で②を導いた上でご質問なさってるんですよね?だったら自信持って。

 ドロ臭く確かめたくても、7乗を手計算でやるのは流石にしんどいか。けれど、No.1の仰る通り3〜4乗ぐらいで確かめてみれば良いでしょう。

 また、もし微分法を知っているのなら、(1+x+x^2)^7 の3階導関数を計算してからxに0を代入して6で割る、という手もある。というのは
  f(x) = (1+x+x^2)^7 = Σ{k=0〜n} (a[k](x^k))
とおくと、
  f'''(x) = ( Σ{k=0〜n} (a[k](x^k)) )'''
   = ( Σ{k=1〜n} (k a[k](x^(k-1))) )''
   = ( Σ{k=2〜n} (k(k-1) a[k](x^(k-2))) )'
   = Σ{k=3〜n} (k(k-1)(k-2) a[k](x^(k-3)))
なので、x^3の係数a[3]は
  f'''(0) = 3(3-1)(3-2) a[3]
ま、これもめんどくさいけど。
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(1+x+x²)⁷={(1+x)+x²}⁷でx³の項は


₇C₀(1+x)⁷*(x²)⁰に1つ
(1+x)⁷でx³の項は
₇C₃1⁴*x³*₇C₀=₇C₃x³
₇C₁(1+x)⁶*(x²)¹に1つ
(1+x)⁶でxの項は
₆C₁1⁵*x*x²=₇C₁*₆C₁x³=₇C₅*₂C₁x³
よって、₇C₅*₂C₁x³+₇C₃x³
x³の係数は
₇C₅*₂C₁+₇C₃ です。
貴方が正しい。
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(a+b+c)ⁿ=Σn!/(p!q!r!) a^p b^q c^r , p+q+r=n


です。

すると今回は
a^p b^q c^r=x^(q+2r)
となり、
p+q+r=7 , q+2r=3
となる。これを満たすのは
(q,r)=(1,1) , (q,r)=(3,0) だけである。すなわち
(p,q,r)=(5,1,1) , (p,q,r)=(4,3,0) となり

x^(q+2r)=x³の係数は

7!/(5!1!1!)+7!/(4!3!0!)=7!/5!+7!/(4!3!)
となり、上のいずれも間違い。
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②の式が正しいけど?

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この回答へのお礼

答えに①の式が書いてあったので②の式が正しいことはないと思います…

お礼日時:2021/03/02 16:19

実際に3乗、4乗を手で展開すれば、規則・理由は解る。


先ずは手を動かす。
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