No.3ベストアンサー
- 回答日時:
もらう金額が100N円であるのは,N回目まではずっと表が出て,N+1回目に裏が出たときなので,その確率は(1/2)^(N+1)です。
(1/2)^Nではありません。だから期待値はΣ(N=0~∞)100N(1/2)^(N+1)です。>部分和を求めてからlimn→∞を取るのでしょうか?
その通りです。部分和は,S_n=Σ(N=0~n)100N(1/2)^(N+1)として,(1/2)*S_nを書き出してS_nと辺々引く,といった方法で求めます。この求め方は知ってますか?
S_n =100{1(1/2)^2 +2(1/2)^3 +.....+n(1/2)^(n+1)}
(1/2)S_n=100{ 1(1/2)^3 +.....+(n-1)(1/2)^(n+1)+n(1/2)^(n+2)}
辺々引いて,
(1/2)S_n=100{(1/2)^2 +(1/2)^3 +.....+(1/2)^(n+1)-n(1/2)^(n+2)}
=100{(1/2)(1-(1/2)^n) -n(1/2)^(n+2)}
よって
S_n=100{1-(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)}
が部分和です。lim_(n→∞) n(1/2)^(n+1)=0なので,limS_n =100です。
別解として,「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。こっちの方がかなり楽です。
n回目にコインを投げたときにもらえる金額の期待値は,100*(1/2)^nですので,これをn=1から∞まで和を取ればいいのです。すぐに100円となります。
>別解として,「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。
>こっちの方がかなり楽です。
>n回目にコインを投げたときにもらえる金額の期待値は,100*(1/2)^nですので,
>これをn=1から∞まで和を取ればいいのです。すぐに100円となります。
では、試しに・・・。
初項が50で項比が1/2ですよね?あぁすごいですね!!
暗算ですね!!ありがとうございました
No.4
- 回答日時:
補足的アドバイス
seven_tritonさんご指摘の別解
>「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。
が実は一番ラクで的確なアドバイスです.ただし今の場合, 有限項でなく無限項の和なので, 書くとき少し注意を要するところがあります. 先に有限のn項のときに
E(X1+X2+・・・+Xn)=E(X1)+E(X2)+・・・+E(Xn)=(計算結果)
などとやっておいてから, n→∞ としないと咎められる危険があると思われます.
[あるいは, 同じことですが, (期待値)=の式で,ずっとlimをつけたまま書き換えていって,最後にn→∞ とする.]
(皆様, 異論, 補足等あればお願いします.)
No.2
- 回答日時:
ちょうどn回(n≧1)で終了する確率Pnは
(n-1)回表が続いた後,最後に裏が出て終了なので
Pn=(1/2)^(n-1)・(1/2)=(1/2)^n
このとき得られる金額は100(n-1)円で,これらの結果はn≧1の全ての場合に成立.[P1のとき0円など]
すると期待値(期待金額)Eは
E=Σ(n=1 to ∞)100(n-1)Pn
=Σ(n=1 to ∞)100(n-1)(1/2)^n
=Σ(n=2 to ∞)100(n-1)(1/2)^n [n=1 のときは0より]
=Σ(k=1 to ∞)100k(1/2)^(k+1) [k=n-1]
ここでx≠1として,一般に
S=1+x+x^2+x^3+・・・+x^n={x^(n+1)-1}/(x-1)
上式の各辺をxで微分して
dS/dx=1+2x+3x^2+・・・+nx^(n-1)=[(n+1)x^n・(x-1)-{x^(n+1)-1}]/(x-1)^2
={nx^(n+1)-(n+1)x^n+1}/(x-1)^2
(この辺は自信なし.検算してください.)
すると
1+2x+3x^2+・・・+nx^(n-1)=Σ(k=1 to n)kx^(k-1)={nx^(n+1)-(n+1)x^n+1}/(x-1)^2
となり,100x^2を掛けて
Σ(k=1 to n)100kx^(k+1)=100x^2[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
この式でx=1/2とおいて,n->∞としたものが求める期待値Eなので
lim_(n->∞)nx^(n+3)=lim_(n->∞)nx^(n+2)=0などを使うと
E=100(円)
No.1
- 回答日時:
Σ(n=0 to ∞)100n×2^(-n)
=Σ(n=1 to ∞)n×2^(-n)
=100Σn×2^(-n)=100Sとおく。
S=1×2^(-1)+2×2^(-2)+3×2^(-3)+…+m2^(-m) (m→∞)
-)(1/2)S= 1×2^(-2)+2×2^(-3)+…+(m-1)2^(-m)+m2^(-m-1)
---------------------------------------------------------------------
(1/2)S=2^(-1) +2^(-2) +2^(-3) +…+2^(-m) +m2^(-m-1)
両辺を2倍して
S=1+2^(-1)+2^(-2)+…+2^(-m+1)+m2^(-m)
S=1+2^(-1)+2^(-2)+…+2^(-m+1)+m2^(-m)
-)(1/2)S= 2^(-1)+2^(-2)+…+2^(-m+1)+2^(-m)+m2^(-m-1)
----------------------------------------------------------
(1/2)S=1+m2^(-m)-2^(-m)-m2^(-m-1)
=1 (∵m→∞)
∴S=2
∴Σ(n=0 to ∞)100n×2^(-n)=100S=200 //
となります。
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