No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Σ[n=1〜∞] 1/(2n+1)(2n+3)
= lim[m→∞] Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3).
Σ[n=1〜∞] だと、Σ を分解したり
項を並べ替えたりが自由にできないので、
まずは Σ[n=1〜m] を考えましょう。
よくある、Σ の中身を階差数列と見る
ような引き算を探すパターンで、
今回は部分分数分解が使えます。
1/(2n+1)(2n+3) = (1/2){ 1/(2n+1) - 1/(2n+3) }.
これを使って、
Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3)
= Σ[n=1〜m] (1/2){ 1/(2n+1) - 1/(2n+3) }
= (1/2){ Σ[n=1〜m] 1/(2n+1) - Σ[n=1〜m] 1/(2n+3) }
= (1/2){ Σ[n=0〜m-1] 1/(2n+3) - Σ[n=1〜m] 1/(2n+3) }
= (1/2){ 1/(2・0+3) - 1/(2m+3) }
いわゆる、真ん中がばっさばっさ消える というやつです。
あとは lim[m→∞] を行って、
Σ[n=1〜∞] 1/(2n+1)(2n+3)
= lim[m→∞] Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3)
= lim[m→∞] (1/2){ 1/3 - 1/(2m+3) }
= (1/2)(1/3)
= 1/6.
No.4
- 回答日時:
定和分にて ただし 〔 〕は差分 記号としました!
与式=(1/4)・Σ 1…∞ 1/(n+1/2)(n+3/2)
=(1/4)・∫ 1…∞ (n+1/2)〔ー2〕⊿ n
=(1/4)・(ー1)・lim n→∞[ (n+1/2)〔ー1〕]n+1 →1
=(1/4)・(ー1)・(0ー(1+1/2)^(-1))
=(1/4)・(3/2)^(-1)=(1/4)・(2/3)=1/6
No.3
- 回答日時:
与式=(1/4)・Σ 1…∞ 1/(n+1/2)(n+3/2)
=(1/4)・∫ 1…∞ (n+1/2)〔ー2〕
=(1/4)・(ー1)・[ (n+1/2)〔ー1〕]∞…1
=(1/4)・(ー1)・(0ー(1+1/2)^(-1))
=(1/4)・(3/2)^(-1)=(1/4)・(2/3)=1/6
No.1
- 回答日時:
1/(2n+1)(2n+3) が1/((2n+1)(2n+3))であるなら、
1/((2n+1)(2n+3))
=(1/2)( (1/(2n+1)) - (1/(2n+3)) )
=(1/2)( (1/(2n+1)) - (1/(2(n+1)+1)) )
Σn[1〜∞] 1/((2n+1)(2n+3))
=(1/2)( (1/3) - (1/5) )+(1/2)( (1/5) - (1/7) )+…
=(1/2)(1/3) - (1/2)(1/(2(∞+1)+1)) )
=1/6
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