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統計学演習をやっていてわからないところがあります。
111ページなのですが
不偏分散
U2=1/(n-1)Σ(Xi-X)2
=1/(n-1)(ΣXi2-ΣX2(平均の二乗)/n)
2は二乗を表します
という公式は成り立ちますか?

A 回答 (2件)

>U2=1/(n-1)Σ(Xi-X)2



U^2 = [1/(n-1)]Σ(Xi - μ)^2
ですね? 「標本平均 μ = (1/n)ΣXi との偏差の2乗和」を (n - 1) で割る、ということ。(標本平均は Xbar と書くことが多いですが、面倒なので μ と書きます)

「Σ(Xi - μ)^2」の意味するところを考えれば

A = Σ(Xi - μ)^2
= Σ(Xi^2 - 2Xi*μ + μ^2)
= ΣXi^2 - Σ2Xi*μ + Σμ^2
= ΣXi^2 - 2μΣXi + nμ^2  ←μ は定数だから

ここで
 μ = (1/n)ΣXi
ですから
 ΣXi = nμ
これを使って

A = ΣXi^2 - 2μnμ + nμ^2
= ΣXi^2 - 2nμ^2 + nμ^2
= ΣXi^2 - nμ^2         ①
これを n で割ると
 (1/n)A = (1/n)ΣXi^2 - μ^2   ②

この「(1/n)A」つまり「2乗偏差和を n で割ったもの」は「分散」であり、質問者さんが「公式」として覚えている
 分散 V[Xi] = E[Xi^2] - {E[Xi]}^2
がまさしく②ということです。

ということで、不偏分散を U^2 とすれば
 (n - 1)U^2 = Σ(Xi - μ)^2
これが①に等しいので
 (n - 1)U^2 = ΣXi^2 - nμ^2

従って
 U^2 = [1/(n - 1)]ΣXi^2 - [n/(n - 1)]μ^2
ということになります。

質問者さんがお書きの式とはちょっと違いますね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!
色々説明もつけてくださりありがたいです、勉強になりました!!
お忙しいところ助かりました、やはりちょっと違うことがわかりました(^^;)
助かりました!!!!

お礼日時:2022/03/01 21:01

Σはiに関する総和でi=1~nであるとして、平均値の不偏推定値を


  m = (1/n)Σxi
としますと
  Σ((Xi - m)^2)
  = Σ(Xi^2 - 2mXi + m^2)
  = Σ(Xi^2)- 2Σ(mXi) + Σ(m^2 )
  = Σ(Xi^2) - 2mΣXi + (m^2)n
  = Σ(Xi^2) - 2m(mn)+ (m^2)n
  = Σ(Xi^2) - (m^2)n
従って、
  U2=(1/(n-1))Σ((Xi - m)^2)
  = (1/(n-1))(Σ(Xi^2) - (m^2)n)
ですね。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました!!
わかりやすい説明で感激です。
助かりました、よくわかりました!!

お礼日時:2022/03/01 21:00

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