数列{an}があり、
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)(n+3) (n=1,2,3,,,,)
を満たしている。
(1)an (n=1,2,3,,,)を求めよ。
(2)a1+a2+a3+…anを求めよ。
この問題は(1)が解けないと(2)が解けないようになっているみたいで、1問目からよく分からなく、2問目まで手をつけることができません。
(1)の場合は、どうやらTnを用いて式をたてるみたいですが、…;Snの方法と同じなのでしょうか。。(Snのやり方さえもあやふやなのですが;)
アドバイスよろしくお願いします!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)(n+3)
a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)a(n+1)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
とnとn+1に対する式を用意しておいて、下の式から上の式を辺々引くと、
(n+1)a(n+1)=4(n+1)(n+2)(n+3)
a(n+1)=4(n+2)(n+3)(n≧1)
番号を一つ落とすと、
an=4(n+1)(n+2)(n≧2)
この式でn=1とすると、右辺は24となって、a1=1・2・3・4=24に一致す
るから、この式はn≧1で成り立つ。
この手の問題は、大体こんな手法でできる。これは、離散型の問題だ
が、連続型で∫(0,x)f(t)dt=F(x)からf(x)を求める問題も同じような発
想である。要するに、離散型→差分、連続型→微分の違い。
a1+…+anの計算はわけないでしょう。
その際、正直に(n+1)(n+2)を展開するより、(n+1)(n+2)=(n+1)^2-(n+1)
とする方が少しは良いかも。あまり変わらないか・・・
No.4
- 回答日時:
>>T(n)=1*a1+2*a2+3*a3+…+n*an=n(n+1)(n+2)(n+3)
前半。
(A) n=1のとき、
1*a1=1*2*3*4=24
a1=24
(B) n≧2のとき、
n*an
=T(n)-T(n-1)
={n(n+1)(n+2)(n+3)}-{(n-1)n(n+1)(n+2)}
=n(n+1)(n+2){(n+3)-(n-1)}
=4n(n+1)(n+2)
an=4(n+1)(n+2)
(A),(B)より an=4(n+1)(n+2)
----------
後半。(解1)
S(n)=4Σ[k=1,n](k+1)(k+2)
(1/3){(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)}
=(1/3)(k+1)(k+2){(k+3)-k}
=(k+1)(k+2)
S(n)=(4/3)Σ[k=1,n]{(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)}
=(4/3){2*3*4 - 1*2*3}
+(4/3){3*4*5 - 2*3*4}
+(4/3){4*5*6 - 3*4*5}
+・・・
+(4/3){(n-1)n(n+1) - (n-2)(n-1)n}
+(4/3){n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)}
+(4/3){(n+1)(n+2)(n+3) - n(n+1)(n+2)}
=(4/3){(n+1)(n+2)(n+3)-1*2*3}
=(4/3){(n^3)+6(n^2)+11n+6-6}
=(4/3){(n^3)+6(n^2)+11n}
=(4/3)n{(n^2)+6n+11}
後半。(解2)
S(n)=4Σ[k=1,n](k+1)(k+2)
=4Σ[k=1,n]{(k^2)+3k+2}
=4Σ[k=1,n](k^2)+4Σ[k=1,n]3k+4Σ[k=1,n]2
=4*{n(n+1)(2n+1)/6}+4*3*{n(n+1)/2}+8n
=2*{n(n+1)(2n+1)/3}+6*{n(n+1)}+8n
={2n(n+1)(2n+1)/3}+{18n(n+1)/3}+{24n/3}
=(2/3)n{(n+1)(2n+1)+9(n+1)+12}
=(2/3)n{2(n^2)+3n+1+9n+9+12}
=(2/3)n{2(n^2)+12n+22}
=(4/3)n{(n^2)+6n+11}
No.1
- 回答日時:
和Sn が式で与えられていれば一般項は容易に得られますよね。
それとほぼ同じです。落ち着いて式を見てみましょう。
A(n) = a1 + 2 a2 + 3 an + … + n an = n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
とおくと、
A(n) - A(n-1) = n an ですから、
an = (A(n) - A(n-1)) / n
= (n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)(n + 1)(n + 2)
= (n + 1)(n + 2)( n + 3 - n + 1)
= 4 (n + 1)(n + 2)
(2)については、Σk^2 と Σk の公式って言うか求め方が分かっていればOKですね。
分からなければ教科書へ。
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