数学の質問です。 n Σ(6k^2 - 2k + 5) K=1 の解き方を教えてくださいお願いします

数学の質問です。
n
Σ(6k^2 - 2k + 5)
K=1
の解き方を教えてくださいお願いします

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2021/04/30 12:50

Σ[k=1~n](6k^2 - 2k + 5)=6Σ[k=1~n]k^2-2Σ[k=1~n]k+5n

=６＊1/6*n*(n+1)(2n+1)-2*1/2*n(n+1)+5n
=2n^3+3n^2+n-n^2-n+5n
=2n^3+2n^2+5n

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/04/30 13:11

Σ公式を覚える

Σk²=n(n+1)(2n+1)/6
Σk=n(n+1)/2
Σa=an

Σa○=aΣ○

Σ(○+□+△)=Σ○+Σ□+Σ△

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/30 13:56

k=1~n は記載を 省略します。

公式に 当てはめるだけです。
教科書や参考書に書いてある筈です。
∑(A+B)=∑A+∑B, ∑a=an, ∑aA=a∑A,
∑k=n(n+1)/2, ∑k²=n(n+1)(2n+1)/6 。

∑(6k²-2k+5)=6∑k²-2∑k+5n
=6{n(n+1)(2n+1)/6}-2{n(n+1)/2}+5n
=n(n+1)(2n+1)-n(n+1)+5n
=n(n+1)(2n+1-1)+5n
=2n²(n+1)+5n
=2n³+2n²+5n=n(2n²+2n+5) 。
（これ以上は 因数分解 出来ません。）

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/30 14:06

Σ公式を覚える。

覚える公式は簡単なほうがいい。
Σ[k=1..n] 1 = n/1,
Σ[k=1..n] k = n(n+1)/2,
Σ[k=1..n] k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3,
Σ[k=1..n] k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4,
Σ[k=1..n] k(k+1)(k+2)(k+3) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5,
任意の自然数 m について、
Σ[k=1..n] k(k+1)(k+2)...(k+m-1) = n(n+1)(n+2)...(n+m)/(m+1)

これを使って、
Σ[k=1..n] 6k^2 - 2k + 5
　= 6(k^2+k) - 8k + 5
　= 6n(n+1)(n+2)/3 - 8n(n+1)/2 + 5n
　= 2n(n+1)(n+2) - 4n(n+1) + 5n
　= 2n^3 - 2n^2 + 5n.