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2n
lim Σ 1/k
n→∞ k=n+1

が解けません、、。


n
lim Σ1/n+k
n→∞ k=1
に変形できますか?!いずれにせよ、この後も分かりません。
教えていただけましたら幸いです。

記号が見えづらくて、大変申し訳ございません。

A 回答 (4件)

まあ、分からなければグラフをかいて考えてみるのも良いでしょう


1/kに k=n+1から k=n+2,,n+3・・・2nまでを順次代入して足し算していくことになるので
Σ[k=n+1~2n]1/k=1/(n+1)+1/(n+2)+・・・+(1/2n)
これはy=1/x上にある点を
A1(n+1,1/(n+1)),A2(n+2,1/(n+2)),・・・An
というように等間隔でとりだして y座標を合計したものですよね!
ですので、1/(n+1)は 横幅1/(2n-n)=1//n 、高さ1/(n+1)の長方形の面積
1/(n+2)は横幅1/n 高さ1/(n+2)の長方形の面積とみてあげれば
Σ[k=n+1~2n]1/k は 横幅がそれぞれ1/nで高さが適宜小さくなる長方形nこの面積の和となりますよね

で、さらにn→∞なので取り出してやる点の数は無数に多くなり、結果、点同士の間隔(各点のx座標の間隔)がきわめて小さくなって
結局、横幅1/nがほぼ0であるような無数の長方形の面積の和→極まるところy=1/xの x=n~2nまでの部分のグラフの面積の和となりますよね!

ゆえに、lim(n→∞)Σ[k=n+1~2n]1/k=∫[n→2n](1/x)dx
=[logx](積分区間n~2n)
=log2n-logn
=log(2n/n)
=log2
このような考え方を抑えておくのも良いでしょう
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この回答へのお礼

ありがとうございます^^

お礼日時:2020/08/25 05:47

区分求積法の公式 lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n]f(k/n) = ∫[0→1]f(x)dx に無理矢理もっていく。



lim[n→∞]Σ[k=n+1→2n](1/k)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=n+1→2n](n/k) ←無理矢理1/nをつくる
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=n+1→2n]{1/(k/n)} ←無理矢理f(k/n)の形を作る。この場合、f(x)=1/xにすることができた。
=∫[1→2](1/x)dx
=log(2)

ここで大事な注意点があり、区分求積法の公式を機械的に暗記していると間違える。
それは、定積分にしたときの上端と下端。これは、機械的に0から1ではなく、

上端:lim[n→∞](Σの上部分)/n
下端:lim[n→∞](Σの下部分)/n

なので、

上端:lim[n→∞]2n/n=2
下端:lim[n→∞](n+1)/n=1

となる。なぜこうなるかは、区分求積法の公式を導き出す過程をみれば判る。
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log 2 - log 1 = log 2 で正解.

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「区分求積法」って, 知ってます?

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この回答へのお礼

区分求積法でしたか、、すっかり忘れてました。ありがとうございます。

log2であっていますでしょうか。

お礼日時:2020/08/23 01:47

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