数列の問題

Question

自然数ｎについて、a[n]を√ｎの整数部分とする時、
(1)自然数ｌについて、a[n]＝ｌとなるｎの個数をｌを用いて表せ
(2)ｔを二以上の自然数とするときΣ(ｋ＝1～t^2-1まで)a[k]をｔを用いて表せ

ちょっと抽象的な感じで、どんな感じで解けばよいのかわかりません(>_<)
よろしくお願いしますm(__)m

fushigichan · Accepted Answer

stripeさん、こんにちは。
これは、難しいですねえ！

＞自然数ｎについて、a[n]を√ｎの整数部分とする時、 
(1)自然数ｌについて、a[n]＝ｌとなるｎの個数をｌを用いて表せ 

えっと、まず、問題の意味を考えてみましょう。
たとえば、
√３≒１．７３２・・
ですから、a[3]=1
ということになるんですね。√３の整数部分は１になるので。

さて、この前提のもとで、考えると、
a[n]=l(l:整数)とすると、
l≦a[n]<l+1・・・（☆）

となっていることは、いいかと思います。
さきほどの例ですと、
１≦√３＜２
ということですね。これは成り立ちますね。

（☆）は、
l≦√n<l+1
ですから、l>0であることを考えれば、両辺２乗していいです。
l^2≦n<(l+1)^2=l^2+2l+1
となりますね。
そのような、nは何個ありますか？
l^2,l^2+1,・・・,l^2+2l
までの、（2l+1)個ですね。

＞(2)ｔを二以上の自然数とするときΣ(ｋ＝1～t^2-1まで)a[k]をｔを用いて表せ 

これは、tのイメージが分かりにくいかと思います。
そういうときは、まず具体的に考えましょう。

√１＝１
√２＝１・４２・・・
√３＝１．７３２・・
√４＝２
√５＝２．２３６・・
√６＝２．４４９・・
√７＝２．６４５・・
√８＝２．８２８・・
√９＝３
√１０＝３．１６・・
√１１＝３．３１・・
√１２＝３．４６・・
√１３＝３・６０・・
√１４＝３．７４・・
√１５＝３．８７２・・
√１６＝４
・・・

となっていきますね。（電卓で計算しました）
すると、見てください。
整数部分が１となるものは、√１、√２、√３の３個です。
整数部分が２となるものは、√４、√５、√６、√７、√８の５個です。
整数部分が３となるものは、√９～√１５までの７個です。
これは、(1)で求めたように、
整数部分が(t-1)となるのは、(2t-1)個です。
整数部分がｔとなるのは、(2t+1)個ある、ということですね。

さて、最初から数えると、何個なのか？？は、
３個＋５個＋７個＋・・＋(2t-1)個
＝Σ[k=1 to t-1](2k+1)
=Σ2k+Σ1=t(t-1)+(t-1)=(t-1)(t+1)=t^2-1

となります。
つまり、
＞Σ(ｋ＝1～t^2-1まで)a[k]
　　　　　　↑
ここの、t^2-1というのは、最初から数えて、t-1群になる、ということですね。
（a[n]=t-1となるようなグループ）

a[1]グループの和は、１＋１＋１＝３
a[2]グループの和は、2+2+2+2+2=10
・・・
a[t-1]グループの和は、(t-1)+・・+(t-1)=(t-1)(2t-1)
　　　　　　　　　　　　2t-1個の和

となることから、考えていけばいいと思います。
頑張ってみてください。

noname#24477 · Answer

皆さんの解答からだいたいのイメージが出来ますね。

ｎ＝ｋ＾２－１とｋ＾２のところが境目になるんです。

ｎ＝１，２，３（＝2^2-1)のときａ[n]＝１
ｎ＝４（＝２＾２），５，６，７，８（＝３^2-1）のときａ[n]＝２
ｎ＝９（＝３＾２），１０，・・・・，１５（＝4^2-1）のときａ[n]＝３
といった具合です。

だからt^2-1のところではａ[n]＝ｔ－１になっています。
（ａ[n]＝ｔじゃない）
というわけで
（２）はΣ（ｌ＝１からｔ－１まで）ｌ＊（２ｌ＋１）

fushigichan · Answer

stripeさん、こんばんは。
今日は１日出ておりまして、お礼のところ今拝見しました。
遅くなってすみません。
さて、

＞どうやって、 
＞ここの、t^2-1というのは、最初から数えて、t-1群になる、ということですね。 
（a[n]=t-1となるようなグループ） 
＞という関係に気付いたのでしょうか？ 

それはですね、私もstripeさんと同じで、最初、
Σ(k=1 to t^2-1)
と書いてあるのに、「t^2-1って？」と思うわけです。
それで、何か規則性があるのかな、と疑うわけですね。
そして、(1)がヒントになっています。

a[n]=lとなるようなnは、いくつあるのか？？から、
まず、＃３で書きましたように、√１、√２・・
と入れていって、大体予測できますよね。
√n=1となるようなnは、３個あるな。
√n=2となるようなnは、５個あるな。
・・・
√n=kとなるようなnは、(2k+1)個ありそうだな、と予想します。
それから、(1)で考えたような不等式から、
a[n]=lとなるようなnは、(2l+1)個ある、と結論づけます。

＞＞３個＋５個＋７個＋・・＋(2t-1)個 
＞細かいですがここのところの一般項は2ｔ+1ですね(＾＾； 

いえいえ、一般項というか、第t群は、(2t+1)個ありますから、
ｔ群までの個数を足せば、
３＋５＋・・＋(2t+1)
となるのですが、今は、第(t-1)群までの個数の和を考えているのです。
（実は、そうしないと、t^2-1という数が出てこないからです）

これは、初項３、公差２の等差数列の和になっていますが、
第ｔ群までの和は、
{3+(2t+1)}t/2=t(t+2)
となります。
第(t-1)群までの和は、
{3+(2t-1)}(t-1)/2=(t+1)(t-1)=t^2-1
となって、Σの中の、k=1 to (t^2-1)
という、(t^2-1)という数字が出てくるのです。
これにあわすために、(t-1)群までの和を考えているんですね。

＞もし自分がこの問題をやっていたら、たぶんｔ＾2-1にしか目がいかなくて、問題文にも直接はでてこないｔ-1にはまったく気付けないなと思ったんです(＾＾； 
どこをみて気付く事ができるのか教えて頂けたらうれしいです。 

そうなんですよね。このt^2-1という数字がクセモノです。
最初は気付かないんですが、色々やっていくうちに、
ははあ、なるほど、これは群数列になってるじゃないか、ということに
気がついていく、という感じなんですね。
だから、最初からピン！とこなくても、悲観することは全然ないのです。

stripeさんは、これを読んでかなり、なるほど～と思われていらっしゃるようですので
一度、ヒントをもとに自分で解いてみてくださいね。
それで、解ければ、次回、同じような傾向の問題が出されたときには、
「もしかして、あれを使うのかな・・」
のようにひらめくことが出来ると思います。

頑張ってくださいね！！

eatern27 · Answer

#1です。間違えました。すいません。
＞l^2≦n^2＜(l+1)^2 
とありますが、n^2の"^2"が余計です。正しくは

l^2≦n＜(l+1)^2

です。

eatern27 · Answer

ヒントだけ
(1)
a[n]=lとなることは
l^2≦n^2＜(l+1)^2
と同値です。これを満たすｎの数をlを用いて表しましょう。

(2)
a[1]～a[t^2-1]を具体的に並べると
1,1,1,2,2,2,2,2,3,・・・,t-1,t-1,t-1,t-1,t-1,t-1
となり、この次の項a[t^2]=tだから、
(1)の答えをf(l)とすると、
1はf(1)個、2はf(2)個、・・・,t-1はf(t-1)個となります。
f(1)個の1とf(2)個の2と・・・f(t-1)個のt-1の和を求めればいい事になります。

数列の問題

stripeさん、こんにちは。

皆さんの解答からだいたいのイメージが出来ますね。

stripeさん、こんばんは。

#1です。

ヒントだけ

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