収束半径

次のべき級数の収束半径を求めてください。
(1)Σ(n=1→∞）(√n+1-√n)x^n
(2)Σ(n=1→∞）(n！)x^n
(3)Σ(n=1→∞）x^n/(n+1)^n+1

過程も含め教えてください。

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/02/01 10:00

(1)

Σ_{n=1～∞}(√(n+1)-√n)x^n=Σ_{n=1～∞}(a_n)x^n
収束半径をRとすると
1/R=lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|
=lim_{n→∞}|√(n+2)-√(n+1)|/|√(n+1)-√n|
=lim_{n→∞}|√n+√(n+1)|/|√(n+2)+√(n+1)|
=lim_{n→∞}|1+√(1+1/n)|/|√(1+2/n)+√(1+1/n)|
=1
R=1
(2)
Σ_{n=1～∞}(n!)x^n=Σ_{n=1～∞}(a_n)x^n
収束半径をRとすると
1/R=lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|
=lim_{n→∞}|(n+1)!/n!|
=lim_{n→∞}(n+1)
=∞
R=0
(3)
Σ_{n=1～∞}x^n/(n+1)^{n+1}=Σ_{n=1～∞}(a_n)x^n
収束半径をRとすると
1/R=lim_{n→∞}|a__n|^{1/n}
=lim_{n→∞}|1/(n+1)^{n+1}|^{1/n}
=lim_{n→∞}|1/n^n|^{1/n}
=lim_{n→∞}|1/n|
=0
R=∞