ちょっと変わったマニアな作品が集結

こんばんは。

xのフーリエ級数
 Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)
を利用して
 Σ(n=1,∞)(1/n^2)
の値を求める問題をやっています。

パーセバルの等式から
 (1/π)∫(-π~π)(x^2)dx = Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2
について
 (左辺)
  = (1/π)*((π^3)/3+(π^3)/3)
  = (2/3)*π^2
 (右辺)
  = Σ(n=1,∞)(1/n^2)
から、
 Σ(n=1,∞)(1/n^2) = (2/3)*π^2
と計算したのですが、答えは (π^2)/6 のようです。

何が間違っているのかまったく分からない状態です。分かる方いらっしゃいましたら是非教えてください。
よろしくお願いします。

数式見づらくてごめんなさい。。

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A 回答 (2件)

理由は簡単です。


xの(-π,π)のフーリエ級数展開が間違っているのです。

x=Σ(n=0~∞)(-2cos(nπ)/n)sin(nx)
です。
2が抜けています。
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この回答へのお礼

x*sin(n*x)の積分でミスをしておりました…。
2^2で割ればできそうですね。もう一度初めから求めてみようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/14 02:14

パーセバルの等式というのですか、はじめて知りました。


まず個人的にですが、パーセバルの等式を用いずに解いてみることをおすすめします。重要なのはそこからの計算ではなく、そこまでの計算だと私は思っていますので。

さて問題ですが、
Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2=1/4Σ(n=1,∞)(1/n^2)
になるはずです。正解から逆算すれば当たり前ですが。
ヒントは-1を1に変えるときです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

パーセバルの等式を用いずに…。
誤差を出す式の段階でやるという事でしょうか。
そっちでもやってみようと思います。

本題についてはNo.2さんに指摘して頂いたとおりxのフーリエ級数展開が間違っておりましたので、もう一度やり直してみようかと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/14 02:06

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QΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を求める際,どの正規直交関数系を使えばいいのかの選択基準は?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+a_5^2+…=2π^5/9+16π+π+16π/81+…=2π^5/9+16Σ[k=1..∞]1/k^4 …(2)
一方,∥f(x)∥^2=∫[π..-π](f(x))^2dx=∫[-π..π]x^4dx=2π^5/5 …(3)
(2)と(3)をParsevalの等式「∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞]a_k^2」に代入して2π^5/5=2π^5/9+16πΣ[k=1..∞]1/k^4
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90

の問題についてですが正規直交関数は色々あると思いますがこの問題では特に
{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}
を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+...続きを読む

Aベストアンサー

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
 それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

 ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね:
 「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました?ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

 たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな?」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序を...続きを読む

QParsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求めよ

[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し
,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x


で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2

となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

偶関数だからというより、nが偶数のとき
 b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。

Qフーリエ級数展開についてです。 急いでます。

(1)下の図のような周期2の関数がある。これをf(t)=|t| (-1<t<1)とし、そのフーリエ級数展開を求めなさい。なお、フーリエ級数展開はフーリエ係数を求めそれらの係数を用いて与式を展開すること。

         |  
     /\ |   /\
_\/__\|/__\/___
     -1       1  

(2) 上の結果を用いて、Σ 1/(2n-1)^2=(π^2)/8となることを導きなさい。
         (n=1~∞)

という問題を教えてください。

Aベストアンサー

周期2の偶関数なので,
coskπt
を用いて展開ですね.
kが偶数の時は係数が0になる(補足にある((-1)^k-1のような部分が消えます)
ことに注意すると,k=2n-1として
f(t)=1/2+Σ(n=1 to ∞) [-4/{(2n-1)^2・π^2}]cos(2n-1)πt

(2)はこの結果でt=0とおくと,f(0)=0=...
でいいのでは.

Q無限級数です

1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+・・・・+1/(n^2)+・・・・
の無限級数の解法と解を教えてください。

Aベストアンサー

(1)  f(x) = x^2
を区間 -π≦x≦πでフーリエ展開します.
偶関数ですから,cos 項のみが存在して
(2)  x^2 = a(0)/2 + Σ{n=1~∞} a(n) cos(nx)
の形になり,係数 a(n) は
(3)  a(n) = (1/π)∫{-π~π} t^2 cos(nt) dt
      = (-1)^n / n^2   (n≧1)
(4)  a(0) = (1/π)∫{-π~π} t^2 dt = 2π^2 / 3
になります.
したがって,x^2 のフーリエ展開は
(5)  x^2 = (π^2/3) + Σ{n=1~∞} [(-1)^n cos(nx) / n^2]
で,これに x =π を代入すると
(6)  Σ{n=1~∞} [1 / n^2] = π^2 / 6
になります.
これが答ですね.

ついでに,x = 0 を代入すると
(7)  Σ{n=1~∞} [(-1)^(n+1) / n^2] = π^2 / 12
も得られます.

同じことを x^4 についてやれば
(8)  Σ{n=1~∞} [1 / n^4] = π^4 / 90
もわかります.

(1)  f(x) = x^2
を区間 -π≦x≦πでフーリエ展開します.
偶関数ですから,cos 項のみが存在して
(2)  x^2 = a(0)/2 + Σ{n=1~∞} a(n) cos(nx)
の形になり,係数 a(n) は
(3)  a(n) = (1/π)∫{-π~π} t^2 cos(nt) dt
      = (-1)^n / n^2   (n≧1)
(4)  a(0) = (1/π)∫{-π~π} t^2 dt = 2π^2 / 3
になります.
したがって,x^2 のフーリエ展開は
(5)  x^2 = (π^2/3) + Σ{n=1~∞} [(-1)^n cos(nx) / n^2]
で,これに x =π を代入すると
(6)  Σ{n=1~∞} [1 / n^2] = π^2 / 6
になりま...続きを読む

Q証明問題

下記の証明問題(レポートなどではなく、ただ単に趣味で解いている程度のものですから問題ないと思われます)を解いていたのですが、いくら考えてもわからないので、どなたか解いてみていただけないでしょうか?


Vを計量線形空間、Wをその部分空間とする。Wの直交補空間をW⊥とするとき、VはWとW⊥の直和であることを証明しなさい。


以上です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

dimW=rとして、W正規直交基底{e1,e2,・・・er}をとる。
Vの任意の元vに対し、
v1=Σ(vi,ei)ei、v2=v-v1 [Σ i=1,r]
とおく。
v1∈Wであり、ej(1≦j≦r)に対して、
(v2,ej)=(v-v1,ej)
    =(v,ej)-(Σ(v,ei)ei,ej) [Σ i=1、r]
    =(v,ej)-(v,ej)
    =0
v2は、Wの任意の元と直交する。
故に v2∈W⊥
よって、VはWとW⊥の和となる。
V=W+W⊥

W∩W⊥の元vをとれば、(v,v)=0であるから、v=0 となる。
よって、
W∩W⊥={0}
故に
V=W(+)W⊥    (+)・・・直和

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q無限級数の和

次の無限級数の和を求める。
(1)Σ1/[{(2n+1)^2}-1]
(2)Σ1/(1+2+3+…+n)
二つとも(n=1→∞)です。

この問題なんですが、(1)はとりあえず分母を展開して
計算したら、Σ1/{4(n^2)+4n}になりました。
ここからどうすればいいでしょうか?
(2)は全然分かりません。
あと最初にlim(n→∞)の形に置き換えないといけませんか?

Aベストアンサー

ヒント: 1/(n*(n+1)) = (1/n) - (1/(n+1))

(1) は展開しないで考えた方が良いです。
(2) はとりあえず分母を計算しましょう。

Qf(x)=|sinx| のフーリエ展開がわかりませ

【問題】周期2πにおいて

f(x)=|sinx| のフーリエ展開
のやり方や回答を教えてください。

Aベストアンサー

sin(x)は周期2πの奇関数ですが
f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π
 a[n]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|cos(nwox)dx
   =(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx
   =(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx
   =-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... )

となります。

sin(x)は周期2πの奇関数ですが
f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|...続きを読む

Q最小分解体

f(X)=X^4-7∈Q[X]として、f(X)のQ上の最小分解体をLとする。

(1)
拡大次数[L:Q]を求めよ。

(2)
K=L∩Rとする。Kを分かりやすく記述し、L/Kが2次拡大であることを示せ。
K≠K' だが K`=~K'(同値)となるような体は存在するだろうか?

(3)
L/Qの中間体で、Qの2次拡大であるものを複数挙げよ。

(4)
L/Qの中間体Mで、[M : Q]=4 である体を見つけ、これがある多項式のQ上の最小分解体になっていることを示せ。(具体的に多項式を与えよ)



Kは十分に大きいFの拡大体とする。
(5)
(X^2-3)(X^3+8)と(X^2-4)(X^4-9)で生成されるQ[X]のイデアルJとするとき、J=(f(X))となるような多項式を求めよ。

わからない問題がたくさんあって申し訳ないんですが、もしわかる方いたらぜ教えていただけたらと思います。

Aベストアンサー

(1) これまでと同様です。

f(X)は素数7についてアイゼンシュタイン多項式なのでQ上既約。
よって、M=Q(7^(1/4))とおくと[M:Q]=4

f(X)の根は、±7^(1/4), ±i7^(1/4)の4つ。よってL=M(i)
また、M⊂R, L⊄R より[L:M]=2

従って[L:Q]=[L:M][M:Q]=8

(2) (1)のM=Q(7^(1/4))がL∩Rであることを示す。
M⊂L∩R は明らか。一方、L⊄Rより、[L:L∩R]≧2。[L:M]=2だったので、[L∩R:M]=[L:M]/[L:L∩R]=1しかありえない。
つまりL∩R=M=Q(7^(1/4))。以後問題文にならいQ(7^(1/4))=Kとかく。[L:K]=2 はすでに示した通り。

K≃Q[X]/(X^4 -7)に同型な体はf(X)の他の根を付け加えた体。これらの内、
K=Q(±7^(1/4))は同じ体
Q(±i7^(1/4))も同じ体
である一方、K≠Q(i7^(1/4))

なぜなら、仮にK=Q(i7^(1/4))
とすると、K=K( i7^(1/4))=Lとなり、[L:K]=2に矛盾するから。

よって問題のK'は一つだけ存在し、K'=Q(i7^(1/4))

(3) 全て挙げると、
Q(i), Q(√7), Q(√(-7))
これらがL/Qの中間体であることは明らか。

(4) Q上の最小分解体はすべてのQ上の共役元を含むのでガロア拡大。(逆にQのガロア拡大はあるQ係数多項式の最小分解体になる)

ガロア対応を知っていれば、ガロア群Gal(L/Q)の位数2の正規部分群を見つけよ、というのと同値な問題。
知らなくても(3)から、2つの2次体を組み合わせて、
Q(i, √7)はQ上4次拡大と見当をつけることができる。

まず、Q(i), Q(√7)はそれぞれQの2次拡大なのでガロア拡大。よってQ(i, √7)もまたQのガロア拡大。
Q(√7)⊂R, Q(i, √7)⊄Rより、[Q(i, √7):Q(√7)]=2。よって[Q(i, √7):Q]=4

つまりM=Q(i, √7)は問題の条件を満たす。
そこで、例えば、i+√7のQ上の最小多項式を計算すると、
(X-(i+√7))(X-(-i+√7))(X-(i-√7))(X-(-i-√7))=X^4-12 X^2 +64
であり、明らかにQ(i+√7, -i+√7, i-√7, -i-√7)=Mとなるので、Mを最小分解体とするようなQ係数多項式 X^4-12 X^2 +64 が構成出来た。

(5) ユークリッドの互除法の問題です。
f1=(X^2-3)(X^3+8), f2=(X^2-4)(X^4-9)
とおきます。f1, f2 には明らかな共通因子があるので括りだしておきます:
つまり、
h=(X^2-3)(X+2)
g1=(X^2+2 X+4)
g2=(X-2)(X^2+3)
とおくと、

f1=h×g1
f2=h×g2
です。

J = (f1, f2) = h・(g1, g2)なので、(g1, g2)を求めれば十分です。
(g1とg2が互いに素なので最大公約多項式は1になるはずで、それを確かめます)
g1よりg2の方が次数が高いので、g2をg1で割ると、

g2=(x-4)・g1+(7x+10)

次にg1を(7x+10)で割ると、
g1=(x/7+4/49)・(7x+10)+156/49

いま、(7x+10) = g2 -(x-4)・g1∈(g1, g2)
よって、156/49 = g1-(x/7+4/49)・(7x+10)∈(g1, g2)

よって1∈(g1, g2)が分かった。

つまり(g1, g2)=Q[X]
従って、(f1, f2)=(h)

つまり、求める多項式はh=(X^2-3)(X+2)

(1) これまでと同様です。

f(X)は素数7についてアイゼンシュタイン多項式なのでQ上既約。
よって、M=Q(7^(1/4))とおくと[M:Q]=4

f(X)の根は、±7^(1/4), ±i7^(1/4)の4つ。よってL=M(i)
また、M⊂R, L⊄R より[L:M]=2

従って[L:Q]=[L:M][M:Q]=8

(2) (1)のM=Q(7^(1/4))がL∩Rであることを示す。
M⊂L∩R は明らか。一方、L⊄Rより、[L:L∩R]≧2。[L:M]=2だったので、[L∩R:M]=[L:M]/[L:L∩R]=1しかありえない。
つまりL∩R=M=Q(7^(1/4))。以後問題文にならいQ(7^(1/4))=Kとかく。[L:K]=2 はすでに示した通り。

K≃Q[X]/(X^4 ...続きを読む


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