級数の問題で（改）

先ほど間違って投稿してしまったので；；；；

数学の問題でわからなかったことがあるので質問します。
Σk^2(a^(k-1))
を解くと（kは１から無限大まで）
(1＋a)/(1－a)^3
になるそうなのですが、とき方がわかりません。（教科書には、こういう公式を使って・・・と書いてありました）
どなたか教えていただけないでしょうか＞＜
よろしくお願いいたします！

No.1 ベストアンサー 回答者： gururinbus 回答日時： 2007/05/24 00:48

Σx^(k)=1/(1-x)を利用します。

(kは0から∞)

細かいこと(項別微分とか)を抜きにして大雑把にいうと、上の式を両辺微分します。

すると、Σkx^(k-1)=-{(1-x)^(-2)}*(-1)=1/(1-x)^2となります。

両辺にxをかけます。
すると、Σkx^k=x/(1-x)^2となります。

再び両辺を微分すると、

Σk^2(x^(k-1))=(((1-x)^2)+2x(1-x))/(1-x)^4=((1-x)+2x)/(1-x)^3=(1+x)/(1-x)^3

すなわち、Σk^2(x^(k-1))=(1+x)/(1-x)^3を得ます。

あとはxにaを代入すればOKです。

もちろん、この議論は級数の収束半径の関係で|x|＜1で成り立つことなので
aも|a|＜1のときにしか成り立たないと思います。

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/24 15:06

-----------------------

R=1+x+x^2)+・・・+(x^(n-1))
=((x^(n-1))-1)/(x-1)
｜x｜＜１、n→∞、R→1/(1-x)
------------------------
S=1+2x+3(x^2)+・・・+n(x^(n-1))

∫Sｄｘ
=【x+(x^2)+(x^3)+・・・+(x^n)】
=x【1+x+(x^2)+(x^3)+・・・+(x^(n-1))】
=x【((x^n)-1)/(x-1)】
=((x^(n+1))-x)/(x-1)

d/dx∫Sdx
=S
=((n+1)(x^(n))-1)(x-1)-((x^(n+1))-x)*1)/((x-1)^2)
=((n+1)(x^(n+1))-(x^(n+1))-x+1)-(x^(n+1))+x)/((x-1)^2)
=(n(x^(n+1))-(x^(n+1))+1))/((x-1)^2)

｜x｜＜１、 n→∞、　S→１/((x-1)^2)
------
(n^2)-((n-1)^2=2n-1

T=(1^2)+(2^2)x+(3^2)(x^2)+・・・+(n^2)(x^(n-1))
Tx=　　　　(1^2)x＋(2^2)(x^2)+・・・+((n-1)^2)(x^(n-1))+(n^2)(x^n)
(1-x)T=1+((2*2)-1)x+((2*3)-1)(x^2)+・・・+((2*n)-1)(x^(n-1))-(n^2)(x^n)
(1-x)T+(n^2)(x^n)=1+((2*2)-1)x+((2*3)-1)(x^2)+・・・+((2*n)-1)(x^(n-1))
=1+2【2x+3(x^2)+・・・+n(x^(n-1))】-【x+(x^2)+・・・+(x^(n-1)】
=1+2【1+2x+3(x^2)+・・・+n(x^(n-1))】-【1+x+(x^2)+・・・+(x^(n-1)】-2+1
=2S-R
(1-x)T+(n^2)(x^n)=2S-R
T=(2S-R-(n^2)(x^n))/(1-x)

｜x｜＜１、 n→∞、2S→2/(１－ｘ)^2)、R→1/(1-x)
T→（２/((１－ｘ)^３）ー（1/（(１－ｘ)＾２）
　　　＝（２/((１－ｘ)^３）ー（(１－ｘ)/（(１－ｘ)＾３）
　　　＝（１＋ｘ）/((１－ｘ)^３）
ーーー

No.2 回答者： einart 回答日時： 2007/05/24 01:29

　Σk^2（a^(k-1)）

のｋ＾2が無ければ簡単に分かりますね。
　(k+1)^2　－　k^2　＝　2k+1
ですのでこれを上手く利用しましょう。
上記の式をf(a)とします。（便利のため以後ｆ）
　af＝Σk^2(a^k)
になります。それに対して
　f＝Σk^2（a^(k-1)）
は今　ｋ＝1～∞　なので　ｋ＝1　だけ前に出して
　ｆ＝1+Σk^2（a^(k-1)）　　　　ｋ＝2～∞
です。ｋ-1　⇒　ｋ　としてあげると
　ｆ＝1+Σ(k+1)^2・a^k　　　　　ｋ＝1～∞
になります。これで上手く行きそうです。

　　f-af　＝　1+Σ｛　(ｋ+1)^2－k^2　｝a^k
　　　　　＝　1+Σ｛　2k+1　｝a^k

と頭が　k^2　→　ｋ　に出来ましたね。
同様に　f-af＝ｇ　とでも置いてあげれば解決できます。


■余談ですが
　この手法を用いて
　　Σk^ｎ　　　ｋ＝1～ｍ
　の値を求めることができます。