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(1)S=Σ[n~∞]{5^(n+1)-3^(n+1)}/15^n
=Σ[n~∞]{5・(5/15)^n-3・(3/15)^n}
=Σ[n~∞]5(1/3)^n-Σ[n~∞]3(1/5)^n
第1項目は、初項5,公比1/3の無限等比級数で、1/3<1、
第2項目は、初項3,公比1/5の無限等比級数で、1/5<1だから、
S=[5/{1-(1/3)}]-[3/{1-(1/5)}]
=5×(3/2)-3×(5/4)
=15/4
(2)S=(1/1)+{1/(1+2)}+……+{1/(1+2+……n}}+……
部分和Sn=(1/1)+{1/(1+2)}+……+{1/(1+2+……n}}とおく。
和の公式より、
第n項=1/{(1/2)n(n+1)}=2/n(n+1)
=2[(1/n)-{1/(n+1)}]より、
Sn=1+2(1/2-1/3)+……+2[(1/n)-1/(n+1)]
隣同士打ち消し合うから、
=1+2{(1/2)-1/(n+1)}
=2-{2/(n+1)}だから、
S=lim[n→∞]Sn=2
どうでしょうか?
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