数学Bの問題です

どうしてもわからない数列の問題が何問かあります。定期テストが近いので本当に困っています。どうか回答お願いします！

①数列1、1、4、1、4、9、1、4、9、16、1,4,9,16,25……がある。この数列の第100項を求めよ。また、この数列の初項から第100項までの和を求めよ。

②(1の2乗×２の2乗)ぶんの３、(２の2乗×３の2乗)ぶんの５、(３の2乗×4の2乗)ぶんの７……がある。この数列の初項から第n項までの和を求めよ。

③(1×２×３)ぶんの１、(2×３×４)ぶんの１、(３×４×５)ぶんの１……がある。この数列の初項からn項までの和を求めよ。
　
どうかお願いいたします！！

No.3 ベストアンサー 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/06/19 16:06

①　群数列、ｎ群の項数はｎ、項数は、1,2,3,4・・・・

　　ｎ群までの項数は、n(n+1)/2
n(n+1)/2<=100 　では、最大＝13
　　であり、13群までの項数は、91
　　よって、14群は92項から始まるので100項は14群の第9項
　　第m項は、ｍ＾2=9^2=81
　第100項は81
　　第ｎ群は、1,2^2,3^2,4^2,・・・n^2
この和は、n(n+1)(2n+1)/6
13群までの和は、
　　∑（ｋ＝1からｎ）k^3/3+k^2/2+k/6
=n^2(n+1)^2/4+n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/12
　 これに、n=13を代入して計算。
　　第14群の9項までの和は、ｍ(ｍ+1)(2ｍ+1)/6
　　これに、ｍ＝9を代入して計算し、2数を足せば答え。
　　間違いあったら、ごめんね。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。　おかげで、理解できました！最近数学の内容が難しくなってきて、しょげかけていたのですが、もう少し頑張れると思います。
ありがとうございました！

お礼日時：2015/06/21 22:03

No.6 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/06/19 18:05

③

一般項は、
１/｛ｎ（ｎ+1）（ｎ+2）｝
＝1/2＊｛1/ｎ-1/（ｎ+2）｝＊１/（ｎ+1）
この和は、
1/2＊∑（ｋ＝1からn)｛1/ｋ-1/（ｋ+2）｝＊｛1/（ｋ+1）｝
＝1/2＊∑（ｋ＝1からn)（1/ｋ）＊｛1/（ｋ+1）｝-　1/2＊∑（ｋ＝1からn)｛1/（ｋ+1）｝＊｛1/（ｋ+2）｝
＝1/2＊∑（ｋ＝1からn)（1/ｋ）-｛1/（ｋ+1）｝-　1/2＊∑（ｋ＝1からn)｛1/（ｋ+1）｝-｛1/（ｋ+2）｝
＝1/2｛1-1/（ｎ+1）｝-1/2｛1/（ｎ+1）-1/（ｎ+2）｝
＝n^2/{2(n+1)(n+2)}

No.5 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/06/19 17:11

no.4の続き

1/n-1/(n+1)=1/{n(n+1)}
より、一般項は、
(2n+1)/{n^2*(n+1)^2}
＝（ｎ+ｎ+1）*｛1/n-1/(n+1)｝*｛1/n-1/(n+1)｝
＝｛1-ｎ/（ｎ+1）+（ｎ+1）/ｎ-1｝*｛1/n-1/(n+1)｝
＝｛-1+1/（ｎ+1）+1+1/ｎ｝*｛1/n-1/(n+1)｝
＝｛1/（ｎ+1）+1/ｎ｝*｛1/n-1/(n+1)｝
＝1/n^2-1/（ｎ+1）^2
よって、この和は、
（1/1＾2-1/2＾2）+（1/2＾2-1/3＾2）+・・・1/n^2-1/（ｎ+1）^2
＝1-1/（ｎ+1）^2
こんなかんじかと思います。
還暦間近なもので。。。。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/06/19 10:35

ほとんど直感で規則性を見つけるか、気づくか、という問題です。

　「難しそうだから一歩引いてしまう」と、その規則に気付きません。ズカズカと中に分け入って、探偵になったつもりで探してみましょう。

　探偵や刑事が、現場に残された手がかりから、いろいろと想像上の「ストーリー」を組み立てて、そのうち証拠・事実で否定されるものは捨てて、残ったものを「仮説」として残し、さらにその仮説が成立することをこつこつと検証していくように、このような問題もそうやって答を見つけていくのです。ある意味で「試行錯誤」の繰り返しです。
　凡庸そうで「うだつ」の上がらない刑事（ドラマの主人公はだいたいこんなタイプ）も、こつこつと地道に調べ上げることで、時間はかかっても最後には犯人を追いつめます。

　根性でやってみましょうね。式なんかで表わそうとせずに、数そのものに着目することです。

①は、「1」、「1、4」、「1、4、9」、「1、4、9、16」、「1,4,9,16,25」と区切れることに気付くと、規則性がありそうです。

②には、「1、２、３」、「２、３、５」、「３、4、７」という規則性がありそうです。（「2乗」とか「ぶんの」などの共通なものは無視してみる）

③には、「1、２、３」、「２、３、４」、「３、4、５」という規則性がありそうです。（ここでも、「かけ算」とか「ぶんの１」などの共通なものは無視してみる）

この回答へのお礼

解説ありがとうございます。その思考方法は、数列の問題を解くだけでなく、これからの数学と向き合っていくうえでの、着実で確かな、クライテリアや支えになると思います。
貴重な話を有難うございました！！

お礼日時：2015/06/21 22:09

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/06/19 09:27

(1)

まず、法則を「見つけろ」、という話ですから、見つからなければそれで終わりです。
それでも、
　まず、1が何度も出てきますよね。
また、最後の、
　1,4,9,16,25
　という数列から何か見えないものか、という気がします。
なるほど、私には見えましたが。
この問題は、「一般項を出せ」とは書いてませんから、一般項にまとめる必要は無いのでしょう。
この調子で100まで書き出して、100まで足せば良い。法則が見えるならね。
100かそれを少しオーバーするくらいまで、正確に書き出せれば、減点のしようはありません。

(2)(3)
いくつか足し算してみて、何となく法則を見つけ、帰納法で処理するとか。
約分を考えると、分母がどうなって、分子がどうなるのか。
やってみて。