上三角行列のn乗の証明

画像の行列X…①と数列｛An｝｛Bn｝｛Cn｝(n=1,2,3,...) について以下の問に答えよ。
ただし、xは実数である。
（問２）nが1以上の整数であるときX^nが画像の②の形式で表されることを、数学的帰納法で証明せよ。
（問３）nが2以上の整数であるとき、②の行列のAn,Bn,Cnで構成される数列｛An｝｛Bn｝｛Cn｝の一般項を求めよ。

問１はX^3を求めよ、という問題です。
分かる方、問２と問３の証明・解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ZakuzakuUhauha 回答日時： 2023/07/23 23:02

以下で、(2,3)などは、(2行,3列）成分を表すことにします。

(問２）は、X^(n+1)の
・(1,2), (2,3), (3,4) 成分が同じ　（=＞An と同じ文字で書ける）
・(1,3), (3,4)成分が同じ
・対角成分より下が全部ゼロになることを示す問題です。
実際に、XとX^nを掛け算し、X^nに②の表式を代入して各成分を計算すれば照明が完了できます。
例えば、
(1,2)成分= 1×An + x×1 + x×0 + x×0 = An + x
(2,3)成分= 0×Bn + 1×An + x×1 + x×0 = An + x
(3,4)成分= 0×Cn + 0×Bn +1×An + x×1　= An + x
なので、この３成分は同じであることが示せた。
Bnの表れる２か所、対角より下の部分が全部ゼロになることも同様に示せるが、ここではタイプするのが大変なので省略します。
A,B,Cについて以下の式が得られるはずです。
A(n+1) = An + x
B(n+1) = Bn + x An + x
C(n+1) = Cn + x Bn + x An + x

（問３）
Xの成分からA1, B1, C1は決まる。
A1= B1= C1 = x

A(n+1) = An + x, A1=x　から、
An = n x

B(n+1) = Bn + n x^2 + x, B1=x から、
Bn = (1/2)n(n-1)x^2 + nx
x^2の項の係数は、　1+2+3+...+(n-1)= (1/2)n(n-1)

C(n+1) = Cn + x( (1/2)n(n-1)x^2 + nx ) + x
= Cn + (1/2)n(n-1)x^3 + nx^2 + x
= Cn + (1/2)(n^2-n)x^3 + nx^2 + x

この式で、係数がnの項は、Bnでのx^2の項の係数と同様に考える。
n^2の項は、以下の和を考えることになる。
(1/2)(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)x^3
ところで、
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)の公式を使うと、
（この公式の開設は以下などにあります：　https://math.nakaken88.com/textbook/basic-sum-of …　）

(1/2)(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)x^3=(1/12)n(n-1)(2n-1)x^3

Cn=(1/12)n(n-1)(2n-1)x^3 - (1/4)n(n-1)x^3 + (1/2)n(n-1)x^2 + nx

あとはx^3の項をまとめて整理すれば答えです。
以上、計算多分あってると思いますが、テキストファイル書きながら計算しているので、ちょっと自信ありません。考え方はこれでよいはずです。
検算しながら確かめてください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/24 21:15

図の通り