いろいろな数列の和 n≧2のとき、と定義する問題としない問題がありますよね その違いがわかりません…

いろいろな数列の和

n≧2のとき、と定義する問題としない問題がありますよね
その違いがわかりません……

質問者からの補足コメント

• こんな問題です

  
    補足日時：2019/06/27 15:47

• 漸化式を S[n] = (何か S[n-1] の式) じゃなく S[n+1] = (何か S[n] の式) の形で扱うと、
  得られた S[n+1] に関する結論を S[n] の話にすり替えるときに、全く同じことが起こることを
  見落としがちになりますね。
  
  このあたりがよくわかりません…

    補足日時：2019/06/27 18:49

• 例えばこれはなぜn≧2を定義しないのですか？

  
    補足日時：2019/06/27 20:04

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/27 16:31

n=1 を分けて考えないといけないときの「場合分け」でしょう。

「 n - 1」が出てきたときに、「n - 1 = 0」の場合と「n - 1 ≠ 0」の場合とを分けて考えなければいけないことが多いです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/27 16:31

例えば、

a1=1
an=2nなどと定義される数列はa1ではan=2nが成り立たないので
n≧2のときan=2nというように分ける

（画像では、）n=1のときは画像のような筆算にならず、
sn=1
2sn=2
ーーーー
-sn=1-2
となるので、①部分が不要ということ
そこで、n≧２として考えておいて、結果を求め最後にn=1でも成り立つか調べている

この回答へのお礼

①の過程を行いたいからn≧2を定義するということですか？

お礼日時：2019/06/27 18:43

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 17:04

漸化式を扱う問題では、式の中に S[n-1] とかが出てくることが多いです。

すると、
S[0] が存在しないから、得られた S[n] についての結論は n≧2 でしか成り立たなかったりします。
漸化式を S[n] = (何か S[n-1] の式) じゃなく S[n+1] = (何か S[n] の式) の形で扱うと、
得られた S[n+1] に関する結論を S[n] の話にすり替えるときに、全く同じことが起こることを
見落としがちになりますね。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/27 19:01

①の過程を行いたいからn≧2を定義するということですか？

>行いたいというより、n≧２では
3・2+3・２²+・・・+3・2^n-1部分がどうしても出現してしまうという事です

例n=1のとき
s1=1
2s1=2
ーーーー
-s１=1-2

n=2のとき
s2=１・１+４・２
2s2=　　　　１・２＋４・２²
--------------------------------
-s1=１・１+(3・２)　ー4・2²
　　　　　　　↑
　　　　　　①部分

n=3のとき
s3=１・１+４・２+7・2²
2s3=　　　　１・２＋４・２²+7・2³
--------------------------------
-s3=１・１+(3・２　＋3・２²)ー７・2³
　　　　　　　　↑
　　　　　　　①部分

この回答へのお礼

n≧2をすると①は出現してしまうというのは理解できました！
しかしなぜ①を行うのでしょうか？
成り立たない時を考えて？
成り立たない時を考えて、n≧2を定義するなら、いつもn≧2と定義するのはいけないのですか？

n≧2を定義しない問題もあって、その区別がつきません…

お礼日時：2019/06/27 20:01

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 20:29

写真の例題104は、n=1でも同じように

S[1] = 1
2S[2] = 　　　　2・(3・1-2)・2^(1-1+1)
--------------------------------
-S[1] = 1　　　- (3・1-2)・2^1
が成り立っているから、
n≧2 を区別して扱わなければならない例ではないなあ。

区別せにゃならん問題って、例えばこんなのです。
S[n] = a[1] + a[2] + ... + a[n] とする。
S[n] = n^2 + 1 を満たす a[n] を求めよ。

まず、a[1] = S[1] = 1^2 + 1 = 2.
あと、n≧2 のとき、
a[n] = S[n] - S[n-1] = (n^2+1) - ((n-1)^2+1) = 2n-1.

後半の式は、S[n-1] を使って計算しているから
n≧2 でしか成り立ちません。実際、n=1 を代入してみると
前半の結果と合わないでしょう？
階差数列を使って何かをするときは、これが絡んでくる可能性があるんです。

補足質問をもらった解りにくい文章は、
これを a[n] = S[n] - S[n-1] で扱っていれば
式に S[n-1] が出てくるから普通は用心するけれど、
a[n+1] = S[n+1] - S[n] で扱ってしまうと
計算して a[n+1] = 2n+1 が出てきたときに
うっかり n≧2 を忘れて a[n] = 2n-1 としてしまいがちだから要注意
という話です。受験あるあるですよ。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/28 14:07

n≧2をすると①は出現してしまうというのは理解できました！

しかしなぜ①を行うのでしょうか？
成り立たない時を考えて？
成り立たない時を考えて、n≧2を定義するなら、いつもn≧2と定義するのはいけないのですか？

n≧2を定義しない問題もあって、その区別がつきません…

＞＞＞
例題１０４
①部分とは等比数列（初項3x2、公比2,項数n-1)・・・(A)を＋記号で結んだもののこと。つまり等比数列の和です。
模範解答では、(A)について項数:n-1=1-1=0となるので、n=1に限っては等比数列の和の部分①が「存在しない」
一方n≧２では等比数列部分が(n-1)項「存在する」
という考え方から、n=1とn≧2で区別しています。→定義と言うより、等比数列部分の存在の有無による場合分け

(これについては、頭の回転が速い人は、この場合分けは不要と思う人もいるようです。
①=6{(2^n-1)-1}だから,n=1のとき①=6{(2¹⁻¹)-1}=0＝「等比数列部分の和が無い」
だから、n=1のときも「模範解答の後から5行目」に示された式になじんでいるからです。
ただし、採点者的には、場合わけ不要とすると説明が少し飛躍しているように見えるので、答案作成者的には場合分けした方が減点を心配する必要が無くて無難だと思います）

ちなみに、nが大きくなるほど①部分の式は長くなり扱いが大変になってしまうので、
画像のように等比数列の和の公式を使ってひとまとめにしておくのが普通です。

例題１１
例題１０４の時と同じく
sn-3snを筆算形式で行ってみてください
すると、その結果は
-2sn=1・１＋(2-1)・３+(3-2)・３²+・・・+{n-(n-1)}・(3^n-1)-n・3^n
-2sn＝1・3⁰+３¹+３²+・・・+3^(n-1)-(n・3^n)
ですよね。
すると、右辺は「-(n・3^n)」を除けば
初項１、公比３、項数(n-1)+1=n の等比数列を＋記号で結んだ形になっています
つまり「-(n・3^n)」を除けば、項数nの等比数列の和
例題104との違いは、項数nなので、n=1のときも等比数列部分が存在するという事です！
従って、「等比数列部分の存在の有無による場合分け」と言う発想自体存在しないこととなり、n=1とn≧2を区別（場合わけ）する必要性が無いのです。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/28 14:26

#6

ただし、採点者的には、場合わけ不要とすると説明が少し飛躍しているように見えるので、答案作成者的には場合分けした方が減点を心配する必要が無くて無難だと思います）
についてもう少し補足。

説明が飛躍しているというのは
等比数列の和の公式は、普通、
「（等比数列の）初項から第n項までの和」　と言う意味だからです
だから、例題１０４で
「模範解答の後から5行目」に示された式に「１」と「-(3n-2)2^n」以外に　
等比数列の和の公式が存在しても良いのは　等比数列部分が存在する場合(N≧2)のみです
したがって、初期段階では、n=1のときだけは「模範解答の後から5行目」に示された式とは別になるかも
と言う扱いにしておくのです
そして、確認を入れてみたらn=1のときも「模範解答の後から5行目」に示された式で良かった
というようにしないと　説明が少し飛躍して見えるのです