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次の条件によって定まる数列{an}の一般項を求めよ。

(1)a1=3 , an+1=5an-8(n=1,2,3・・・)

この問題がどうしても分かりません

わかる方、教えて頂けないでしょうか?何卒よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

No.1です。



 a(n+1)=5a(n)-8
⇔a(n+1)-2=5( a(n)-2 )・・・(1)

の変形の仕方なんですが、
特性方程式を使います。

nについての関数を表す項をすべてxとおきます。
つまり、
a(n+1)=5a(n)-8
は、
x=5x-8

となって、x=2となるわけですが、

そこで、nについての関数を表す項、つまり
a(n+1)と a(n)に
さきほどの2を引いた
a(n+1)-2と a(n)-2 を
代入してできあがりです。
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この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます。おかげで、大体は、理解出来ました。

お礼日時:2011/01/16 22:03

n項とn+1項の関係がわかっているので、参考書等では2項間漸化式とよばれているものです。



この形ではNo.1の方が説明しているように、an+1-□=△(an-□)という形に変形できます。

そこでNo.2の方が説明している「特性方程式」をとけば□を簡単に求めることができるので、それを覚えましょう!みたいになっていくと思います。

a_1=3と2番目の式を使ってa_2=5a_1-8=15-8=7
同様にa_3=5a_2-8=35-8=37
a_4=5a_3-8=235-8=227
ですから、この数列は 3、7、37、227、……となります。
ここには何の規則も見つからないように思うのですが、ここにある数字から2をひくと
1、5、35、225…となって、初項1、公比7の等比数列になります。
この作業がNo.1とNo.2のお二人が数式で説明している作業になるわけです。
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漸化式が a[n+1] = 5 a[n] - 8 であれば、


方程式 A = 5 A - 8 を解くのが定石。
A = 2 と判るが、この A を使って 8 を消せば
a[n+1] - A = 5(a[n] - A) と変形できるから、
a[n] = (a[1] - A)・5^(n-1) + A と解ける。

漸化式が a[n+1] = 5 a[n-8] であれば、
a[10] = 15,
a[19] = 75,
a[28] = 375,… であって、
その他の項については解らない。
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こんにちはw



この手の問題は、先ず等比数列の型に持ち込みます。
※分かりにくいので、an→a(n)と書かせてください。

 a(n+1)=5a(n)-8
⇔a(n+1)-2=5( a(n)-2 )・・・(1)

ここで、a(n)-2=b(n)とおくと、

(1)⇔b(n+1)=5b(n)

これは、公比5、初項b(1)=a(1)-2=3-2=1の
等比数列です。
等比数列の一般項を求める公式より、
b(n)=1・5^(n-1)
=5^(n-1)

よって、a(n)=5^(n-1)+2   ・・・a(n)-2=b(n)より

こんな感じです。
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この回答へのお礼

分かりやすい回答、ありがとうございます。おかげで、大体は、理解出来ました。

お礼日時:2011/01/16 22:02

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