漸化式について教えて下さい

次の条件によって定まる数列{an}の一般項を求めよ。

(1)ａ１＝３ , ａn+１＝５ａn－８(n=1,2,3・・・)

この問題がどうしても分かりません

わかる方、教えて頂けないでしょうか？何卒よろしくお願いします。

No.1 回答者： ei10 回答日時： 2011/01/16 21:31

こんにちはｗ

この手の問題は、先ず等比数列の型に持ち込みます。
※分かりにくいので、an→a(n)と書かせてください。

　a(n+1)=5a(n)-8
⇔a(n+1)-2=5( a(n)-2 )・・・(1)

ここで、a(n)-2=b(n)とおくと、

(1)⇔b(n+1)=5b(n)

これは、公比5、初項b(1)=a(1)-2=3-2=1の
等比数列です。
等比数列の一般項を求める公式より、
b(n)=1・5^(n-1)
=5^(n-1)

よって、a(n)=5^(n-1)+2 　　・・・a(n)-2=b(n)より

こんな感じです。

この回答へのお礼

分かりやすい回答、ありがとうございます。おかげで、大体は、理解出来ました。

お礼日時：2011/01/16 22:02

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/16 21:39

漸化式が a[n+1] = 5 a[n] - 8 であれば、

方程式 A = 5 A - 8 を解くのが定石。
A = 2 と判るが、この A を使って 8 を消せば
a[n+1] - A = 5(a[n] - A) と変形できるから、
a[n] = (a[1] - A)・5^(n-1) + A と解ける。

漸化式が a[n+1] = 5 a[n-8] であれば、
a[10] = 15,
a[19] = 75,
a[28] = 375,…　であって、
その他の項については解らない。

No.3 ベストアンサー 回答者： ei10 回答日時： 2011/01/16 21:43

No.1です。

　a(n+1)=5a(n)-8
⇔a(n+1)-2=5( a(n)-2 )・・・(1)

の変形の仕方なんですが、
特性方程式を使います。

ｎについての関数を表す項をすべてｘとおきます。
つまり、
a(n+1)=5a(n)-8
は、
ｘ=5x-8

となって、ｘ=2となるわけですが、

そこで、ｎについての関数を表す項、つまり
a(n+1)と a(n)に
さきほどの2を引いた
a(n+1)-2と a(n)-2 を
代入してできあがりです。

この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます。おかげで、大体は、理解出来ました。

お礼日時：2011/01/16 22:03

No.4 回答者： ZIGOMAR 回答日時： 2011/01/16 21:52

n項とn+1項の関係がわかっているので、参考書等では２項間漸化式とよばれているものです。

この形ではNo.1の方が説明しているように、ａn+１－□＝△(ａn－□)という形に変形できます。

そこでNo.2の方が説明している「特性方程式」をとけば□を簡単に求めることができるので、それを覚えましょう！みたいになっていくと思います。

ａ_１＝３と２番目の式を使ってａ_２＝５a_1－８＝15－８＝７
同様にａ_３＝５a_２－８＝35－８＝37
ａ_４＝５a_３－８＝235－８＝227
ですから、この数列は　３、７、37、227、……となります。
ここには何の規則も見つからないように思うのですが、ここにある数字から２をひくと
１、５、35、225…となって、初項１、公比７の等比数列になります。
この作業がNo.1とNo.2のお二人が数式で説明している作業になるわけです。